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收斂半徑
鎖定
- 中文名
- 收斂半徑
- 外文名
- radius of convergence
- 屬 性
- 非負的實數或無窮大
- 根 據
- 達朗貝爾審斂法
- 詞 性
- 名詞
收斂半徑定義
收斂半徑r是一個非負的實數或無窮大的數,使得在 | z -a| < r時冪級數收斂,在 | z -a| > r時冪級數發散。
[1]
具體來説,當 z和 a足夠接近時,冪級數就會收斂,反之則可能發散。收斂半徑就是收斂區域和發散區域的分界線。在 |z- a| = r的收斂圓上,冪級數的斂散性是不確定的:對某些 z可能收斂,對其它的則發散。如果冪級數對所有複數 z都收斂,那麼説收斂半徑是無窮大。
收斂半徑計算
收斂半徑基本內容
根據達朗貝爾審斂法,收斂半徑R滿足:如果冪級數滿足,則:
收斂半徑可以被如下定理刻畫:
一箇中心為 a的冪級數
的收斂半徑 R等於 a與離 a最近的使得函數不能用冪級數方式定義的點的距離。到 a的距離嚴格小於 R的所有點組成的集合稱為收斂圓盤。最近點的取法是在整個複平面中,而不僅僅是在實軸上,即使中心和係數都是實數時也是如此。例如:函數沒有復根。它在零處的泰勒展開為:運用達朗貝爾審斂法可以得到它的收斂半徑為1。與此相應的,函數
在 ±i存在奇點,其與原點0的距離是1。
收斂半徑簡單例子
運用審斂法可以知道收斂半徑為1。
收斂半徑複雜例子
考慮如下冪級數展開:
其中有理數
是所謂的伯努利數。對於上述冪級數,很難運用審斂法來計算收斂半徑,但運用上面提到的復域中的準則就可以很快得到結果:當 z=0 時,函數沒有奇性,因為是可去奇點。僅有的不可去奇點是其他使分母為零的取值,即使得
= 0的複數 z。設
,那麼,要使之等於1,則虛部必須為零,於是有
,其中 。同時得到 x= 0,回代後發現 k只能為偶數,於是使得分母為零的 z為
的形式,其中 ,離原點最近距離為
,於是收斂半徑為
。
[3]
收斂圓上的斂散性
如果冪級數在a附近可展,並且收斂半徑為 r,那麼所有滿足 |z a| = r的點的集合(收斂圓盤的邊界)是一個圓,稱為收斂圓。冪級數在收斂圓上可能收斂也可能發散。即使冪級數在收斂圓上收斂,也不一定絕對收斂。
例1:冪級數的收斂半徑是 1 並在整個收斂圓上收斂。設 h(z) 是這個級數對應的函數,那麼 h(z) 是例2中的 g(z) 除以 z後的導數。 h(z) 是雙對數函數。