柯西－阿達馬公式

對於單一複數變量“z”的形式冪級數

上式中

則該級數收斂半徑R 由下式給出：

其中limsup定義為

其中sup為集合的最小上界。

形式冪級數和多項式的形式定義有類似之處。對於熟悉冪級數的讀者，也可以將其看作是不討論冪級數斂散性，也就是將其中的不定元僅僅看作是一個代數對象，而不是任何具體數值的時候寫出的冪級數。舉例來説，以下的級數式子：

如果我們把它當成冪級數來研究的話，重點會放在它的收斂半徑等於1、其對應的冪級數函數是否滿足某些性質等等。但作為形式冪級數來研究時，我們關注的是它本身的結構。我們甚至可以把它簡寫為：

這樣，只關注它的係數。我們完全可以考慮各種係數的形式冪級數。比如説係數為階乘的形式冪級數：

，即使説它對應的冪級數：

在

取任何的非零實數值時都不收斂，我們仍然可以將其作為形式冪級數進行運算。

和多項式環中的元素一樣，形式冪級數之間也可以做加減和乘法的運算，具體的計算方式和多項式環一樣。比如説設：

那麼

與

的和就是：

其中

裏面

的係數就是

與

中

的係數的和；

裏面

的係數就是

與

中

的階數相加等於5的項的係數乘積的和 ^[2]  ：

對每個確定的階數

，這個計算是有限項（至多

項）的相加，所以在計算形式冪級數的加減法和乘法的時候，不需要像在對冪級數進行計算時一樣，考慮諸如是否絕對收斂、條件收斂或是一致收斂的問題。另外，如多項式的形式運算一樣，形式冪級數也滿足加法的交換律、加法的結合律、乘法的交換律、乘法的結合律以及乘法對加法的分配律。

形式冪級數不僅能夠定義乘法，也能定義乘法逆的運算。一個形式冪級數

的逆是指另一個形式冪級數

，使得

. 如果這樣的形式冪級數

存在，就是唯一的，將其記為

。同時我們也可以定義形式冪級數的除法：當

的逆存在時，

比如説，可以很容易驗證：

形式冪級數上的一個重要映射是係數的提取操作：將一個形式冪級數映射到它的

的係數。這個操作常常記作

，比如説對形式冪級數

，就有：

對以上定義的形式冪級數

，也有：。又比如：

，

。提取映射和多項式環中的對應映射一樣，都可以看做是到一個子空間的投影映射。