複分析

挪威税務官卡斯帕·韋塞爾在其1797年的一篇文章中首先發表了許多函數的幾何表示，這種表示最後成了考慮復量的新方法的基礎，這種方法不久就使數學家們相信。他們可以放心地使用這些數了．就複數的表示本身來説，韋塞爾在其《關於方向的分析表示》中的目的最初與之並不相關．他覺得，如果有一種辦法能用單個的代數式表示平面上線段的長度和方向，那麼某些幾何概念就能理解得更加清楚．韋塞爾明白，這些表達式必須能被代數地處理．特別地，他需要一種比簡單地使用負號表示相反方向廣泛得多的、可以代數地表示方向的任意變化的方法。這樣，複數的幾何解釋就從韋塞爾對於幾何線段的代數表示中產生了。 ^[2] 

直到19世紀初，複數的“合法性”仍是一個未解決的問題，儘管如此，18世紀的數學家如達朗貝爾和歐拉等人在他們的工作中大量地使用複數和復變量，並由此發現了複函數的一些重要性質．例如，達朗貝爾在研究流體力學問題時，歐拉在用複函數計算實積分時，都得到了現在所稱的柯西～黎曼方程： ^[3] 

其中u，v分別是復變量z=x+iy的一個複函數的實部和虛部．他們的工作導致了分析技巧和函數概念的重要發展．然而不論是歐拉還是達朗貝爾都沒有進一步研究複函數，在他們那裏複函數並不是一個基本的實體，相反，他們是依靠把f(x+iy)的實部和虛部分開來進行其分析工作的．複分析真正作為現代分析的一個研究領域，是在19世紀建立起來的，主要奠基人是柯西、黎曼和魏爾斯特拉斯，三者的出發點和探討方法有所不同，但卻可以説殊途同歸．

柯西在1825年出版的一本小冊子《關於積分限為虛數的定積分的報告》可以看成是複分析發展史上的第一座里程碑．在其中他建立了我們現在所稱的柯西積分定理．柯西本人對這個定理的敍述如下：

如果f(x)對於x0≤x≤X和y0≤y≤Y是有窮的並且是連續的，z=x+iy，並令x=φ(t)，Y=ψ(t)，其中t取實值，那麼積分

的值與函數φ(t)，ψ(t)的形式無關，也就是説與積分路徑無關．

柯西藉助於變分方法證明上述積分定理，其中要求函數f(x)的導數存在並連續，然而他在定理的陳述中卻沒有提到這一條件．柯西接下去考慮了f(z)在矩形區域內部或邊界上成為無窮的情形．這時沿着兩條不同路徑的積分的值一般是不同的．他在各種假設下計算了它們之間的差．例如f(z)只在位於兩條積分路徑之間的一點z0=a+ib處成為無窮，並且以下極限 ^[3] 

存在，即f在z0有一個單極點，他證明積分之間的差是±2πiF．柯西在1826年的一篇論文中稱量F本身為積分留數．另外柯西還指出，當一個函數在兩條積分路徑之間有幾個極點時，積分之差必須取留數之和．從1826年起，柯西發表了一系列有關留數計算的文章，並給出了留數的新的表達式．

柯西的積分理論是複分析的開山利斧，通過它可以導出與複函數的解析性相關的一系列本質結果．不過柯西本人當時並未深察其工作的複分析意義．直到1846年，他所關心的中心問題還是實積分及其值的計算．柯西觀點的轉變發生在1846年，他在這一年發表的兩篇文章中把與路徑無關的基本定理和留數定理分別推廣到了任意閉曲線的情形．到1850年前後，柯西已開始認識到他的工作作為複變函數基本結果的重要性．

也就在這個時候，黎曼以題為《單複變函數一般理論基礎》(1851)的論文在哥廷根大學獲得博士學位．正如著名數學家阿爾福斯(L．V．Ahlfors)所説，這篇論文不僅包含了現代複變函數論主要部分的萌芽，而且開啓了拓撲學的系統研究，革新了代數幾何，併為黎曼自己的微分幾何研究鋪平了道路．就複變函數論而言，黎曼的論文以導數的存在性作為複函數概念的基礎：“復變量w稱為另一個變量的函數，如果其變化使得導數

的值與dz的值無關”．黎曼這裏所説的“函數”即現代意義的解析函數．黎曼在論文中證明了在一區域內函數w=u(x，y)+iv(x，y)是變量z=x+iy的解析函數的充分必要條件是實函數u，v在該區域內連續可微，且滿足方程： ^[3] 

如前所述，此方程早先已由歐拉、達朗貝爾等人引入，柯西在1814年討論二重積分換序問題時也導出了同樣的方程，並指出這兩個方程“包含了由實到虛過渡的全部理論”．但只有黎曼才真正使這對方程成為複分析大廈的基石．黎曼的研究揭示出複函數與實函數之間的深刻區別．他的導數定義要求

的極限必須對於z+Δz趨向於z的一切途徑都相同，這一條件事實上保證了在區域內具有一階導數的函數同時具有一切高階導數，而在實函數情形，即使一階導數對所有的方向都存在，也不能保證高階導數的存在．

黎曼這篇論文一個突出的特徵是其中的幾何觀點．正是在這裏，黎曼引入了一個全新的幾何概念，即黎曼曲面．引入這種曲面的出發點在於對多值函數進行研究．黎曼面可以看作是由一些互相適當連接的重疊的平面構成．例如考察函數w²=z，對於每個z值，一般有w的兩個值與之對應．為了研究這個函數並保持兩個值集

和-

(或者説函數w²=z的兩個分支)分開，黎曼給每個分支引進一個z值平面，還在每個平面上引進一個點對應於z=∞，將這兩個平面看成是一個位於另一個的上方，它們在兩個分支給出相同w值的那些z值處，即z=0和z=∞處連接起來．這樣w²=z的這兩個平面(或稱葉)就構成了黎曼面．因此，當z在黎曼面上變動時，w就變為z的一個單值函數．雖然黎曼面是一個幾何概念，但它遠非是直觀的，我們也不可能在三維空間裏準確地表示出黎曼面，為此，黎曼的觀點還遭遇到了一些同時代人的反對．例如魏爾斯特拉斯就稱黎曼面不過是一種“幾何幻想物”． ^[3] 

魏爾斯特拉斯本人為複變函數論開闢了又一條研究途徑．魏爾斯特拉斯的工作一向以嚴格著稱，同樣，他關於解析函數的工作也是以追求絕對的嚴格性為特徵的．因此，魏爾斯特拉斯不僅拒絕使用柯西通過復積分所獲得的結果(包括柯西積分定理和留數理論)，他也不能接受黎曼提出的那種幾何“超驗”方法．他相信函數論的原理必須建立在代數真理的基礎上，所以他把目光投向了冪級數，用冪級數定義函數在一點鄰域內的解析性，並演出整個解析函數理論．

用冪級數表示已用解析形式給出的複函數，這並不完全是一個新的創造．但是，從已知的一個在限定區域內定義某個函數的冪級數出發，根據冪級數的有關定理，推導出在其他區域中定義同一函數的另一些冪級數，這個問題是魏爾斯特拉斯解決的．上述過程也稱為解析開拓，它在魏爾斯特拉斯的理論中起着基本的作用．使用這種方法，已知某個解析函數在一點處的冪級數，通過解析開拓，我們就可以完全得到這個解析函數．

在19世紀末，魏爾斯特拉斯的方法佔據了主導地位，正是這種影響，使得“函數論”成為複變函數論的同義詞．但是後來柯西和黎曼的思想被融合在一起，其嚴密性也得到了改進，而魏爾斯特拉斯的思想也逐漸能從柯西一黎曼觀點推導出來．這樣，上述三種傳統便得到了統一． ^[3] 

複分析是研究複函數，特別是亞純函數和復解析函數的數學理論。這些函數定義在複平面上，其值為複數，而且可微。研究中常用的理論、公式以及方法包括柯西積分定理、柯西積分公式、留數定理、洛朗級數展開等。複分析的應用領域較為廣泛，在其它數學分支和物理學中也起着重要的作用。包括數論、應用數學、流體力學、熱力學和電動力學。複函數的可微性有比實函數的可微性更強的性質。例如：每一個正則函數在其定義域中的每個開圓盤都可以冪級數來表示：

特別地，全純函數都是無限次可微的，這性質對實可微函數而言普遍不成立。大部分初等函數（多項式、指數函數、三角函數）都是全純函數。

全純函數（holomorphic function）是定義在複平面C的開子集上的，在複平面C中取值的，在每點上皆復可微的函數。

柯西積分定理：如果全純函數的閉合積分路徑沒有包括奇點，那麼其積分值為0；如果包含奇點，則外部閉合路徑正向積分的值等於包圍這個奇點的內環上閉合路徑的正向積分值。

亞純函數：在複分析中，一個複平面的開子集D上的亞純函數是一個在D上除一個或若干個孤立點集合之外的區域全純的函數，那些孤立點稱為該函數的極點。

洛朗級數：複變函數f(z)的洛朗級數，是冪級數的一種，它不僅包含了正數次數的項，也包含了負數次數的項。有時無法把函數表示為泰勒級數，但可以表示為洛朗級數。

留數：在複分析中，留數是一個複數，描述亞純函數在奇點周圍的路徑積分的表現。在複分析中，留數定理是用來計算解析函數沿着閉曲線的路徑積分的一個有力的工具，也可以用來計算實函數的積分。它是柯西積分定理和柯西積分公式的推廣。