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冪級數
鎖定
- 中文名
- 冪級數
- 外文名
- Power series
- 作 用
- 數學分析
- 對 象
- 級數
- 領 域
- 實變函數、複變函數等
- 定義1
- 函數列 , 則稱為函數項級數。
冪級數概念
設
是定義在某區間I上的函數列,則表達式
稱為定義在區間I上函數項級數。
稱作冪級數,其中
為常數,
稱為冪級數的係數。
特別的,當
=0時,冪級數式(2)變為
對於定義在區間I上的函數項級數
,取定
,就變成數項級數
數項級數式(4)可能收斂,也可能發散。如果數項級數式(4)是收斂的,稱
為函數項級數(1)的收斂點;如果數項級數式(4)是發散的,稱
為函數項級數(1)的發散點。函數項級數式(1)的所有收斂點的集合稱為其收斂域,所有發散點的集合稱為其發散域。
對於收斂域上的每一個數x,函數項級數(1)都是一個收斂的常數項級數,因而有一確定的和。因此,在收斂域上函數項級數的和是x的函數,稱為函數項級數的和函數,記作s(x),通常寫成
冪級數收斂半徑
如果
,則冪級數
的收斂半徑R:
冪級數運算
四則運算
(1)冪級數的加法
(2)冪級數的減法
在
和
中的較小區間內上式成立,收斂半徑
。
(3)冪級數的乘法
在
和
中的較小區間內上式成立,收斂半徑
。
(4)冪級數的除法
兩個冪級數相除的結果仍是冪級數。假設
時,
係數
由下列等式逐一確立:
相除所得的冪級數
的收斂域可能比
和
小得多。
冪級數的和函數的性質
性質一:冪級數
的和函數s(x)在其收斂域I上連續。
性質二:冪級數
的和函數s(x)在其收斂域I上可積,並有逐項積分公式
逐項積分後所得的冪級數和原級數有相同的收斂半徑。
推論:冪級數
的和函數s(x)在其收斂域內可逐項積分任意次。
性質三:冪級數
的和函數s(x)在其收斂區間
內可導,並有逐項求導公式
逐項求導後所得的冪級數和原級數有相同的收斂半徑。