復變數

設

與

為兩任意實數，以

表示

，則式子

叫做複數。如以兩個實變數

與

分別代替

與

，則所得式子

就叫做復變數，並記作s(即令

)。若

，則

，此時復變數變為實變數，所以實變數是復變數的特殊情形。

叫做復變數s的實部，記作

，

叫做復變數s的虛部，記作

，即

。 ^[1] 

復變數(以下簡稱複數)

有以下幾種表示法：

座標(點)表示法

由於任一複數

與一對實變數

成一一對應關係，所以可以用直角座標(

)表示之。反之，在平面上建立直角座標系後，每一個點都可以表示為複數。因此，在複數域中

平面又叫做複平面或s平面。

軸叫做實軸，

軸叫做虛軸。例如圖1所示為s平面，平面上任一點

可由座標

和

來確定。或者記作

。 ^[1] 

向量表示法

複數s還可用從原點指向點(

)的向量來表示，如圖2所示。向量的長度OP稱為s的模或絕對值，記作

向量

與實軸的夾角

稱為s的輻角，記作

。

關於輻角

要注意下列關係：

時，在第一象限；

時，在第二象限；

時，在第三象限；

時，在第四象限。 ^[1] 

三角表示法和指數表示法

利用直角座標與極座標的關係

複數s可以表示為：

這就是複數的三角表示法。

利用歐拉公式：

，可以得到：

，這種形式稱為複數的指數表示法。根據討論問題的需要，可以把複數從一種表示形式轉換為另一種表示形式。 ^[1] 

兩個複數乘積的模等於它們的模的乘積；兩個複數乘積的輻角等於它們輻角的和。

根據這個定理，可以説乘積

的向量是從因子

的向量旋轉一個角度

(即

)，並伸長(縮短)到

倍得到的。特別，當

=1時，乘法變成了只是旋轉。例如

相當於將

逆時針旋轉90°，

相當於將s順時針旋轉90°。

如果用指數形式表示複數

則乘積定理可以簡明地表示為

兩個複數的商的模等於它們的模的商；兩個複數的商的輻角等於被除數與除數的輻角之差。若

則商定理可以簡明地表示為 ^[1]