虛部

複數的概念來源於意大利數學家Gerolamo Cardano，16世紀，在他試圖在找到立方方程的通解時，定義i為“虛構”（fictitious）。

對於複數z=x+iy，滿足等式

,其中x，y是任意實數，x稱為複數z的實部，y稱為複數z的虛部。 ^{[1]  [1]}  複數是普通實數的字段擴展，以便解決不能用實數單獨解決的問題。

複數通過使用表示實部的水平軸和表示虛部的垂直軸將一維數字線的概念擴展到二維複平面。 可以用複平面中的點（a，b）來標識複數a + bi。

設複數為x+iy，則定義：

純虛數：實數部分為零的複數被認為是純虛數，即x=0。

實數：虛數部分為零的複數是實數，即y=0。 ^[1] 

複數z=x+iy，其中x，y是任意實數，x稱為複數z的實部，y稱為複數z的虛部。 ^[1]  （注意虛部不包括虛數單位i）

在英文中，實數是 Real Quantity，所以一般取 Real 的前兩個字母 “Re” 表示一個複數的實部；虛數是 Imaginary Quantity，所以，一般取 Imaginary 的前兩個字母 “Im” 表示一個複數的虛部。例如：

Re(2+3i)=2， Im(2+3i)=3；

Re(-7.38i)=0， Im(-7.38i)=-7.38。

複平面當中的點（x,y）來表示複數x+iy，其中y軸為虛軸，y的值即為虛部。

定義複數的實部與虛部，有三個作用：

第一，規定兩個複數相等。

我們規定，當且僅當兩個複數的實部與虛部分別相等時，這兩個複數就相等。

再從向量的角度來看，由於a₁=a₂，b₁=b₂，所以複數a₁+b₁i與複數a₂+b₂i所表示的兩個向量的模相同，且這兩個向量的方向相同。

邏輯語言描述：

第二，定義共軛複數。

當兩個複數的實部相等，虛部互為相反數時，把這兩個複數叫做互為共軛複數。

複數 a+bi 與 a-bi 互為共軛複數。

a+bi乘以a-bi就等於a²+b²。

第三，定義複數的模

複數的模定義為

利用勾股定理，可以在複平面內求得表示該複數的點到原點的距離

第四，定義複數的輻角主值