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右連續

右連續是指函數在一點右側連續，若一元函數f在x₀處的右極限為f(x₀)，即f(x₀+0)=f(x₀)，則稱f在x₀處右連續。函數f在x₀處右連續是函數f在x₀處連續的必要不充分條件。當函數f在x₀處既左連續又右連續時，函數f在x₀處連續^[1] 。

右連續基本介紹

由函數f(x)在點x₀左極限與右極限的定義，立即得到函數f(x)在點x₀左連續與右連續的定義。

如果

，則稱函數y=f(x)在點x₀左連續；

如果

，則稱函數y=f(x)在點x₀右連續。

由極限的充分必要條件易得：函數f(x)在點x₀連續的充分必要條件是：函數f(x)在點x₀既左連續，又右連續，即

函數在一點連續的定義，很自然地可以推廣到一個區間上。

如果f(x)在區間I上的每一點處都連續，就稱f(x)在I上連續，並稱f(x)為I上的連續函數；若I包含端點，那麼f(x)在左端點連續是指右連續，在右端點連續是指左連續。

由極限的運算法則可知，常值函數f(x)=C(C為常數)在實數軸上任意一點x₀都是連續的，多項式函數f(x)在(-∞，+∞)上是連續的，即

有理分式函數

在分母Q(x)≠0的點是連續的，即有理分式函數在定義域內是連續的^[2] 。

【例1】討論函數

在點

處的連續性。

解在x=0處，f(x)有定義，且f(0)=0，

因為

，所以f(x)在x=0處左不連續；

因為

，所以f(x)在x=0處右連續。

因此，根據上述函數y=f(x)在點x₀處連續的充要條件知，函數f(x)在x=0處不連續。

在x=1處，f(x)有定義，且f(1)=1，

因為

，所以f(x)在x=1處左連續；

因為

，所以f(x)在x=1處右連續。

因此，根據上述函數y=f(x)在點x₀處連續的充要條件知，函數f(x)在x=1處連續^[3] 。

【例2】證明

在x=0點連續。

證明

又f(0) =0，

故f(x)=|x|在x=0點連續^[2] 。

參考資料

詞條統計