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L-函數
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- 中文名
- L-函數
- 外文名
- L-functions
- 用 途
- Dirichlet級數
- 編 輯
- 黎曼猜想
L-函數函數定義
且具有Euler積性的Dirichlet級數, 我們稱其為關於
的
-函數。
L-函數函數來源
一般地説,
-函數來源由兩類組成: 算術L-函數和自守L-函數. 這兩者又是密切聯繫在一起的, 根據羅伯特·朗蘭茲的猜想, 籠統地説, 一切有意義的L-函數都來自自守L-函數.
L-函數算術L-函數
簡單地説,
Dedekind zeta-函數: 設
為一代數數域,
阿廷L-函數: 設
是一個有限維的伽羅瓦表示,其中
為一代數數域,
L-函數自守L-函數
L-函數研究內容
L-函數解析延拓
L-函數的解析延拓和函數方程這是最基本的一部分. 對於一般的自守L-函數這是較容易得到的, 但是對算術的L-函數這一部分並不是容易得到的. 例如, 對於Haass-Weil L-函數, 這部分就是谷山-志村猜想, 該猜想一部分就能推出費爾馬大定理. 關於阿廷L-函數的全純解析沿拓的阿廷猜想也是數論中重要的未知問題.
其中
為復參數.
定義下面關於
的完全
-函數
那麼, 一般地我們有函數方程
L-函數零點的分佈
非零區域: 如黎曼zeta函數的目前最好的非零區域為
L-函數特殊點的值
中心值, 臨界點, 整點的值, 極點的留數等. 這裏面也有很多猜想, 像BSD猜想, 類數問題, Deligne 猜想,Beilinson 猜想,Goldfeld猜想. 其實往往我們重要的不僅是關心它具體有多大,而是關心的這個量裏面隱含着什麼樣的算術意義。像Dedekind zeta 函數在s=1處的留數,裏面包含了一個數域的很多不變量:類數,判別式,regular等;BSD猜想就是Haass-Weil L-函數在中心點的的階就是該橢圓曲線的秩!
L-函數研究意義
對於一個研究對象
如素數, 伽羅瓦擴張, 橢圓曲線, 代數簇等等, 我們可根據其性質構造出一個復變量的L-函數
. -函數的解析性質: 零點和極點, 函數方程, 展開係數, 特殊點的值等等, 往往能夠充分反映
的算術, 幾何, 或代數性質.
L-函數三個公開問題
廣義Riemann猜想
L-函數所有非平凡的零點均位於
線上.
廣義Lindelof猜想
在(3.1)的函數方程中, 有猜想:
其中
為任意小的正實數.
廣義Ramanujan猜想
在(3.1)的函數方程中,猜想對非分歧的有
和
.
- 參考資料
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- 1. D. Bump.Automorphic forms and representations:Cambridge University Press,1997
- 2. P.R. Langlands .L-functions and automorphic representations, ICM, 1978[引用日期2013-08-22]
- 3. H. Iwaniec and P. Sarnak.Perspectives on the analytic theory of L-function:GAFA ,2000:705-741
- 4. H. Iwaniec and E. Kowalski.Analytic Number Theory.USA:AMS,2004
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