廣義黎曼猜想

在數學中我們碰到過許多函數，最常見的是多項式和三角函數。多項式的零點也就是代數方程 ζ(s)=0的根。根據代數基本定理，n次代數方程有n個根，它們可以是實根也可以是復根。因此，多項式函數有兩種表示方法，即

當s為大於1的實數時，n 為收斂的無窮級數，歐拉仿照多項式情形把它表示為乘積的情形，這時是無窮乘積，而且也不是零點的形式：

但是，這樣的用處不大，黎曼把它開拓到整個複數平面，成為復變量s就包含非常多的信息。正如多項式的情形一樣，函數的信息大部分包含在其零點的信息當中，因此， 的零點就成為大家關心的頭等大事。 有兩類零點，一類是s=-2，-4，…-2n，…時的實零點，稱為平凡零點；一類是復零點。黎曼猜想就是講，這些復零點的實部都是，也就是所有復零點都在 這條直線（後稱為臨界線）上。

這個看起來簡單的問題並不容易。從歷史上看，求多項式的的零點特別是求代數方程的復根都不是簡單的問題。一個特殊函數的零點也不太容易找到。在85年前，哈代首先證明這條臨界線上有無窮多個零點。10年前我們知道有2/5的復零點都在這條線上，而且這條線外也沒有發現復零點，因此，黎曼猜想是對是錯還在未定之中。

黎曼在1858年寫的一篇只長8頁關於素數分佈的論文，就在這論文裏他提出了有名的黎曼猜想（Riemanns Hypoth-esis）。這猜想提出已有一百多年了，許多有名的數學家曾嘗試去證明，就像喜歡爬山的人希望能爬上珠穆朗瑪峯一樣——因為到達它的頂峯非常困難，已有人登上這世界高峯，可是卻沒有人能證明這猜想！那麼這個讓上帝如此吝嗇的黎曼猜想究竟是一個什麼樣的猜想呢？

在回答這個問題之前我們先得介紹一個函數：

黎曼ζ 函數。這個函數雖然掛着黎曼的大名，其實並不是黎曼首先提出的。但黎曼雖然不是這一函數的提出者， 他的工作卻大大加深了人們對這一函數的理解，為其在數學與物理上的廣泛應用奠定了基礎。後人為了紀念黎曼的卓越貢獻，就用他的名字命名了這一函數。

那麼究竟什麼是黎曼ζ 函數呢？黎曼ζ 函數 ζ(s) 是級數表達式 (n 為正整數) ζ(s) = ∑n n^-s (Re(s)＞1) 在複平面上的解析延拓。 之所以要對這一表達式進行解析延拓， 是因為 - 如我們已經註明的 - 這一表達式只適用於複平面上 s 的實部 Re(s) ＞1 的區域 (否則級數不收斂)。黎曼找到了這一表達式的解析延拓 (當然黎曼沒有使用 “解析延拓” 這樣的現代複變函數論術語)。 運用路徑積分， 解析延拓後的黎曼ζ 函數可以表示為：

這裏我們採用的是歷史文獻中的記號， 式中的積分實際是一個環繞正實軸 (即從 +∞ 出發， 沿實軸上方積分至原點附近， 環繞原點積分至實軸下方， 再沿實軸下方積分至 +∞ - 離實軸的距離及環繞原點的半徑均趨於 0) 進行的圍道積分； 式中的 Γ 函數 Γ(s) 是階乘函數在複平面上的推廣， 對於正整數 s＞1： Γ(s)=(s-1)!。 可以證明， 這一積分表達式除了在 s=1 處有一個簡單極點外在整個複平面上解析。 這就是黎曼ζ 函數的完整定義。運用上面的積分表達式可以證明，黎曼ζ 函數滿足以下代數關係式：

ζ(s) = 2Γ(1-s)(2π)s-1sin(πs/2)ζ(1-s)　從這個關係式中不難發現，黎曼ζ 函數在 s=-2n (n 為正整數) 取值為零 - 因為 sin(πs/2) 為零[注三]。 複平面上的這種使黎曼ζ 函數取值為零的點被稱為黎曼ζ 函數的零點。 因此 s=-2n (n 為正整數) 是黎曼ζ 函數的零點。 這些零點分佈有序、 性質簡單， 被稱為黎曼ζ 函數的平凡零點 (trivial zeros)。 除了這些平凡零點外，黎曼ζ 函數還有許多其它零點， 它們的性質遠比那些平凡零點來得複雜， 被稱為非平凡零點 (non-trivial zeros) 。

黎曼ζ 函數的所有非平凡零點都位於複平面上 Re(s)=1/2 的直線上。在黎曼猜想的研究中， 數學家們把複平面上Re(s)=1/2的直線稱為“critical line”。運用這一術語，黎曼猜想也可以表述為：黎曼ζ 函數的所有非平凡零點都位於critical line上。這就是黎曼猜想的內容，它是黎曼在 1859 年提出的。從其表述上看，黎曼猜想似乎是一個純粹的複變函數命題，但我們很快將會看到，它其實卻是一曲有關素數分佈的神秘樂章。

英國著名的數學家哈代（G．H．Hardy 1877—1947）是華羅庚在英國劍橋大學學習數論時的指導教授。

英國自從出現牛頓以後，一向來數學工作者是注重應用數學，它的數學家不像歐陸的德國和法國在純粹數學上有大的貢獻和新的發現，至到19世紀末出了哈代之後，哈代以他在純數學的工作使英國聞名於世。

哈代先後在牛津和劍橋大學教書，他為了研究數學從來不想到成家，而是由妹妹照顧他。他個性是有些怪，在那宗教勢力濃厚的學府裏敢公然説：“上帝是我的敵人。”他從不踏進教堂，也不參予有宗教色彩儀式的會議。

哈代是一個“板球（Cricket）迷”，每年夏天要等到板球季節過了，才會跑到歐陸度假，拜訪他的幾個好朋友與他們一起討論研究數學。

每次到丹麥就會見他的好朋友波爾（Harald Bohr），他們坐下來，先在一張紙上寫上先要解決和討論的一些議程，然後討論一個小時後才一起出去散步。每一次見面時哈地在議程的第一條往往寫上：“證明黎曼假設！”

可是這個提議卻一直沒法子解決，一直到夏假結束他必須回去英國教書才作罷。第二年的夏天他回來丹麥又像前一年那樣，兩人每天把解決黎曼假設擺在議程的最前面，但是每次都不能解決。

有一年的夏末，哈代要乘船渡北海回英國，那天浪濤洶湧天氣很惡劣，而船又很小，因此他在船開之前就寫了一張明信片寄給波爾，在上面簡單的寫下這幾個字：“我已經證明了黎曼假設。哈代。”

他是否真的證明了，要把這個好消息告訴他的好友呢？原來這明信片是有用意的：萬一這船沉下去，哈地溺死了，世人就會認為哈地真的解決這個世界上的數學難題，而為這個解法及哈地一起埋在海底而惋惜。但是上帝既然是哈地的仇人，一定不會讓哈代享有解決這個著名難題的聲譽，因此本來這船該沉下去，它也設法不讓它沉，於是哈地可以平安回到英國。這樣這個明信片就是他的救命護身符了。

你看了或許會笑，以為我們的哈代教授是這樣幼稚可笑的人物，是的，有一些數學家他們想法和做事的天真幼稚就像6歲的兒童。可是他們研究的東西卻深入和奧妙，不是普通人所能瞭解的。哈代逝世已四十多年，但是他遺留下來的工作，許多是那麼的艱深和難於明白，普通大學數學系畢業生也不是很容易就能領會。

荷蘭三位數學家J．van de Lune，H．J．Riele te及D．T．Winter利用電子計算機來檢驗黎曼的假設，他們對最初的二億個齊打函數的零點檢驗，證明黎曼的假設是對的，他們在1981年宣佈他們的結果，他們還繼續用電子計算機檢驗底下的一些零點。

1982年11月蘇聯數學家馬帝葉雪維奇在蘇聯雜誌《Kibernetika》宣佈，他利用電腦檢驗一個與黎曼猜想有關的數學問題，可以證明該問題是正確的，從而反過來可以支持黎曼的猜想很可能是正確的。

1975年美國麻省理工學院的萊文森在他患癌症去世前證明了N0(T) ≥ 0.3474 N(T)。

1980年中國數學家樓世拓、姚琦對萊文森的工作有一點改進，他們證明了No（T）＞0.35N（T）。

這個簡單的特殊函數在數學上有重大意義，正因為如此，黎曼猜想總是被當成數一數二的重要猜想。在這個猜想上稍有突破，就有不少重大成果。200年前高斯提出的素數定理就是在100年前由於黎曼猜想的一個重大突破而證明的。當時只是證明覆零點都在臨界線附近，如果黎曼猜想被完全證明，整個解析數論將取得全面進展。

更重要的是，在代數數論、代數幾何、微分幾何、動力系統理論等學科中都引入各種 函數和它們的推廣L函數，它們各有相應的“黎曼猜想”，其中有的黎曼猜想已經得到證明，使得該分支獲得突破性的進展。可以設想，黎曼猜想及其各種推廣是21世紀的中心的問題之一。

黎曼，G．F．B（Riemann，Georg Friedrich Bernhard）1826年9月17日生於德國漢若威的佈雷斯塞論茨；1866年7月20日卒於意大利塞拉斯卡。黎曼是對現代數學影響最大的數學家之一，我們從他當時的數學水平來看，他作為偉大的分析學家，其成就可以分為八個領域來論述。前4個領域是關於複分析方面的，他第一個有意識的將實域過渡到復域，開創了複變函數域，代數函數論，常微分方程解析理論及解析數論諸方向；後4個領域主要涉及實分析，在積分理論，三角級理論，微分幾何學，數學物理方程等方面取得重大突破。重要的是一個多世紀之前的成就卻直接同現代數學中的拓撲方法，一般流形概念，聯繫拓撲與分析的黎曼－洛赫定理，代數幾何學特別是阿貝爾簇以及參模等緊密相連，他的空間觀念及黎曼幾何更預示着廣義相對論，正是他促發了現代數學的革命性變革。