黎曼ζ函數

黎曼ζ函數ζ（s）的定義如下： 設一複數s，其實數部分> 1而且：

它亦可以用積分定義：

在區域{s: Re(s) > 1}上，此無窮級數收斂併為一全純函數（其中Re表示複數的實部，下同）。歐拉在1740考慮過s為正整數的情況，後來切比雪夫拓展到s>1。波恩哈德·黎曼認識到：ζ函數可以通過解析開拓來擴展到一個定義在複數域（s,s≠ 1）上的全純函數ζ（s）。這也是黎曼猜想所研究的函數。

ζ函數最早出現於1350年左右，當時的尼克爾·奧里斯姆發現了調和級數發散，即

之後的一次進展來自萊昂哈德·歐拉，他給出了調和級數呈對數發散。 ^[1]  除此之外，他還在1735年給出了巴塞爾問題的解答，得到

的結果。歐拉最初的證明可以在巴塞爾問題中看到，然而那是他的第一個證明，因而廣為人知。事實上，那個證明雖有不嚴謹之處，但是歐拉仍然有自己的嚴格證明。歐拉在1737年還發現了歐拉乘積公式：

這是ζ函數與素數的聯繫的朦朧徵兆，其證明可以在證明黎曼ζ函數的歐拉乘積公式中看到。通過這條公式，容易證明當

時，

。 ^[2] 

1749年，歐拉通過大膽的計算發現了

發現ζ(s)與ζ(1-s)之間存在某些關係。

將歐拉所做的一切牢牢地置於堅石之上的是黎曼，他在1859年的論文論小於給定數值的素數個數以及未發表的手稿中做出了多項進展： ^[2] 

第一積分表示：

。

完備化的ζ，即黎曼ξ函數：

，滿足函數方程

。

第二積分表示：

，則

。

黎曼 - 馮·曼戈爾特公式：以

表示虛部介於0與T之間的非平凡零點數量，則

。

黎曼猜想：ζ函數的所有非平凡零點的實部非常有可能均為1/2。

第三積分表示：

，其中圍道γ逆時針環繞負實軸。

黎曼-西格爾公式：給出計算ξ函數的數值的方法

零點的計算：計算了虛部介於0與100的所有零點的數值

素數的分佈公式：引入黎曼素數計數函數，給出了它與ζ函數的關係

1896年，雅克·阿達馬與普森幾乎同時地證明了

的所有非平凡零點的實部均小於1，即

上無非平凡零點，從而完成了素數定理的證明。

1900年，希爾伯特在巴黎的第二屆國際數學家大會上作了題為《數學問題》的演講，提出了23道最重要的數學問題，黎曼假設在其中作為第8題出現。

之後，希爾伯特提出了希爾伯特－波利亞猜想，具體時間及場合未知。

1914年，哈那德·玻爾和愛德蒙·蘭道證明了玻爾-蘭道定理：含有臨界線的任意帶狀區域都幾乎包含了ζ的所有非平凡零點，表明了臨界線為零點匯聚的“中心位置”。

1921年，哈代和李特爾伍德證明了存在常數T，使臨界線上虛部位於0與T之間的非平凡零點的數量至少為

。

1942年，阿特勒·塞爾伯格更進一步，證明了存在常數T，使臨界線上虛部位於0與T之間的非平凡零點的數量至少為

，這意味着ζ函數在臨界線上的非平凡零點在所有零點中佔有一個正密度，而臨界線

對於臨界帶

的測度為0。

ζ函數原本定義在右半平面

上，並且在此區域內為全純函數

解析延拓後在全局具有積分表達式

滿足函數方程

特別地，如果考慮正規化的ζ，即黎曼ξ函數

那麼它滿足函數方程

黎曼ζ函數可看做是具有如下形式的級數的一個特例：

這種類型的級數被稱作狄利克雷級數。當f為狄利克雷特徵時，又稱作狄利克雷L函數，也有與黎曼猜想相應的廣義黎曼猜想。

為了方便對數論函數作討論，此處引入狄利克雷卷積

：

。

設

，於是顯然

。

於是，如果數論函數

，亦即

(此時，

與

可通過默比烏斯反演公式相互轉換)

那麼

。通常兩側的求和有一個是相對簡單的函數，或是和

直接相關的函數

如果對

的求和較簡單，可以將

相聯繫，反之可以將

相聯繫，即

。

ζ函數與數論函數存在的聯繫可以通過佩龍公式轉化為它和數論函數的求和的關係：設

則由佩龍公式，

其中右上角的'表示如果x是整數，那麼求和的最後一項要乘以

。

這樣做的其中一個結果就是ζ函數和素數分佈的關係。

解析延拓之後的ζ函數具有零點，他們分別是分佈有序的平凡零點（所有負偶數），以及臨界帶

內的非平凡零點。以

表示虛部介於0與T之間的非平凡零點數量，則

遵循黎曼 - 馮·曼戈爾特公式： ^[3] 

。