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狄利克雷級數
鎖定
狄利克雷級數定義
其中s是一個複數,an是一個複數列。
狄利克雷級數例子
最有名的狄利克雷級數要數黎曼ζ函數了,即數列an恆等於 1 時的情形。
另外一個是:
其中
是一個狄利克雷L函數。
還有:
其中φ(n) 是歐拉函數。以及:
其中 σa(n) 是因數函數。
其他關於因數函數d=σ0的等式還有:
對於Re(s)>1,ζ函數的對數由下式給出:
其中
為馮·曼戈爾特函數。
其導數由下式給出:
更廣泛的性質如下:對於一個劉維爾函數,
,有:
另外一個例子是關於拉馬努賈函數:
狄利克雷級數解析性質
是一個關於復變量s的函數。為了使得函數有意義,需要考慮使得右端的無窮級數收斂的s。
如果對任意n和k≥ 0,和an+an+ 1+ ... +an+k有界。那麼對 Re(s) > 0 的s,函數f收斂。
以上定義的函數f對於定義域中的s都是解析函數。
一般來説,一個狄利克雷函數的收斂軸標是指實軸上的一個數x0,使得對於複平面上處於直線y=x0右邊的半平面,函數都收斂(有定義)。
一般來説,與狄利克雷級數相對應的函數都可以解析擴展到更廣的領域中。
狄利克雷級數導數
其中ƒ(n)是一個完全積性函數,並且對於Re(s)>σ0,函數收斂,則有:
對於Re(s)>σ0收斂,其中
是馮·曼戈爾特函數。
狄利克雷級數乘積
對於
以及
如果F(s)和G(s) 分別對 Res>a和 Res>b的s絕對收斂,那麼
當
時,
如果a=b並且 ƒ(n) =g(n) 則有:
當
時,