狄利克雷特徵

狄利克雷特徵指有下面性質、由整數到複數的函數：

存在正整數k使得對於任意n都有χ(n) = χ(n+k)

對於任意m,n，χ(mn) = χ(m) χ(n)

χ(1)=1

首個條件説明特徵是一個以k為週期的函數，其餘兩個條件説明它是完全積性函數。

若果特徵的週期不是1，由週期性和完全積性可知，特徵的值若非單位根便是0。當且僅當gcd(n,k)>1，χ(n)=0。

若χ(n)=Σ(d|n)g(n)，那麼g(n)=(2χ(dn)/3)-χ(n^[(1+n)×(n÷2)])，可以看作升級版的默比烏斯反演公式。

實特徵指值域為實數的特徵，它的值只限於 { ? 1,0,1}。

若一個特徵對於所有與k互質的整數的值都為1，則稱為主特徵。

若p為素數，勒讓德符號(n|p)便是狄利克雷特徵的例子。

數論中重要的基本概念之一，為P.G.L.狄利克雷所引進的模q的特徵,通常稱之為狄利克雷特徵。它可以用不同的方法來定義。這裏採用如下定義:

設,pj(1≤j≤s)是不同的奇素數,gj是模的最小正原根，以及其中φ(d)是不超過d，且與d互素的正整數個數。對於任給的一組整數m,m0,m1,…,ms，把定義在整數集合上的函數的特徵，其中r，r0，r1，…,rs是n對模的一個指數組，即,,1≤j≤s。為了着重指出特徵Ⅹ(n)是屬於模的, 經常採用記號Ⅹq(n)或Ⅹ(n)mod。有關特徵的基本知識如下：

① 設Ⅹ(n)是模q的特徵,當(n,)=1時恆有Ⅹ(n)=1，則稱 Ⅹ(n)為模的主特徵、記為Ⅹ0(n); 不然就稱為非主特徵。只取實值的特徵稱為實特徵，其他的稱為復特徵。函數也是模的特徵，稱為Ⅹ(n)的共軛特徵。

② 模q的特徵Ⅹ（n）是以q為週期的週期函數，即Ⅹ(n+)=Ⅹ(n)。此外，Ⅹ(1)=1,|Ⅹ(n)|=1,(n,)=1。

③ 特徵Ⅹ(n)是完全積性函數，即對任意整數n1,n2有，因此Ⅹ2(-1)=1。

④ 對於一個固定的模q, 有且僅有φ(q)個不同的模的特徵。

⑤ 設塣(n)是模q的特徵，則有　⑥ 設q≥1,(α,)=1，則有對模的所有不同的特徵求和。

⑦ 設Ⅹ(n)是模q的非主特徵,如果存在正整數q┡q，使得對所有滿足條件(n1,q)=(n2,q)=1,n1呏n2(modq┡)的n1、n2有Ⅹ(n1)=Ⅹ(n2),那麼就稱Ⅹ(n)為模q的非原特徵；否則就稱為模q的原特徵。

狄利克雷特徵的主要作用在於：利用性質⑥，可以從一個給定的整數序列中,把屬於某個公差為q的算術級數的子序列分離出來。因此，它在涉及算術級數的許多數論問題諸如算術級數中的素數定理、哥德巴赫猜想的研究中，起着關鍵的作用。

Dilikelei tezheng

狄利克雷特徵

Dirichlet character

數論中重要的基本概念之一，為P.G.L.狄利克雷所引進的模的特徵,通常稱之為狄利克雷特徵。它可以用不同的方法來定義。這裏採用如下定義:

設[121-20],(1)是不同的奇素數,是模[121-21]的最小正原根，以及

[121-22]其中()是不超過，且與互素的正整數個數。對於任給的一組整數,,,…,，把定義在整數集合上的函數

[121-23]稱為模[121-0]的特徵，其中，，，…, 是 對模[121-0]的一個指數組，即[121-24],[121-25],1。為了着重指出特徵 ()是屬於模[121-0]的, 經常採用記號()或()mod[121-0]。有關特徵的基本知識如下：

① 設()是模的特徵,當(, [121-0])=1時恆有()=1，則稱 ()為模[121-0]的主特徵、記為(); 不然就稱為非主特徵。只取實值的特徵稱為實特徵，其他的稱為復特徵。函數[121-26]也是模[121-0]的特徵，稱為()的共軛特徵。

② 模的特徵（）是以 為週期的週期函數，即(+[121-0])=()。此外，(1)=1,|()|=1,(,[121-0])=1。

③ 特徵()是完全積性函數，即對任意整數,有[121-27]，因此(-1)=1。

④ 對於一個固定的模, 有且僅有()個不同的模[121-0]的特徵。

⑤ 設()是模的特徵，則有

[121-28]

⑥ 設1,(,[121-0])=1，則有

[121-29]式中Σ表對模[121-0]的所有不同的特徵求和。

⑦ 設()是模的非主特徵,如果存在正整數