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黎曼ξ函數

數學中，黎曼ξ函數（Riemann Xi function）是黎曼ζ函數的變型，其定義是為了得到一個簡單的泛函方程式。此函數得名于波恩哈德·黎曼。

黎曼ξ函數定義

愛德蒙·蘭道將黎曼原先小寫的ξ函數以被改為大寫的Ξ函數（另參見下方），而蘭道的小寫ξ函數則定義為：

其中

，ζ(s)為黎曼ζ函數；Γ(s)為伽瑪函數。^[1]

蘭道的小寫ζ函數的泛函方程式（或稱反射式）為

蘭道的大寫Ξ函數為

遵守泛函方程式：

Ξ函數即原先的黎曼ξ函數。

當s為偶數，亦即s = 2n，ξ(s)一般式為

其中B_n為第n個白努利數。

例如：

其中

參考資料

1. Landau E. Handbuch der Lehre von der Verteilung der Primzahlen[M]. Chelsea Pub. Co, 1953.

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