默比烏斯反演公式

默比烏斯反演公式(Mobius inversion formula)一種序列反演公式。它是德國數學家默比烏斯(Mobius , A. F.)提出的，最早出現在初等數論的研究中。 ^[1]  設f(n)和g(n)是定義在自然數集N上的兩個函數，反演公式：

稱為(經典的)默比烏斯反演公式。這裏，記號“拼”表示左右兩式可以互推。函數爪n)是默比烏斯在1832年研究素數分佈時首次引入的，後稱它為(經典的)默比烏斯函數。

經典版本説明，如果g和f是算數函數，則：

則有：

其中μ是Möbius函數，並且和在n的所有正除數d之間延伸。 實際上，原始的f（n）可以通過使用反演公式給出g（n）來確定。 這兩個序列是彼此的莫比烏斯變換。

如果f和g是從正整數到某些阿貝爾組（被視為ℤ模塊）的函數，那麼公式也是正確的。

用Dirichlet卷積的語言，第一個公式可以寫成：g=f

1，

其中*表示Dirichlet卷積，1是常數函數1（n）= 1。然後將第二個公式寫為：f=

g。

關於乘法函數的文章中給出了許多具體的例子。

定理遵循因為*是（交換和）關聯，並且1 *μ=ε，其中ε是Dirichlet卷積的同一性函數，對於所有n> 1，取值ε（1）= 1，ε（n）= 0 因此：

我們使：

因此得到：

這個式子是它的轉變。 這些變換是通過系列方式進行的，蘭伯特系列：

和Dirichlet系列：

其中ζ（s）是Riemann zeta函數。

給定算術函數，可以通過重複應用第一個求和來生成其他算術函數的雙無限序列。

例如，如果從歐拉的常數函數開始，並重復應用變換過程，則得到：

1.φ的常數函數

2.φ* 1 = I，其中I（n）= n是識別函數

3.I * 1 =σ1=σ，除數函數

如果起始功能是Möbius功能本身，功能列表是：

1.μ，Möbius函數

2.μ* 1 =ε其中，

是單位功能。

3.ε* 1 = 1，常數函數

4.1 * 1 =σ0= d =τ，其中d =τ是n的除數，（見除數函數）。

這兩個功能列表在兩個方向都無限延伸。 Möbius反演公式使得這些列表能夠向後遍歷。

作為一個例子，從φ開始的序列是：

通過考慮相應的Dirichlet系列可以更容易地理解生成的序列：變換的每個重複應用對應於Riemann zeta函數的乘法。

在組合中更有用的相關反演公式如下：假設F（x）和G（x）是在區間[1，∞）上定義的復值函數，使得：

那麼：

這裏的總和擴展到小於或等於x的所有正整數n。

這反過來又是一個更一般形式的特殊情況。 如果α（n）是具有Dirichlet反

的算術函數，則如果定義：

那麼：

前一個公式出現在常數函數α（n）= 1的特殊情況下，其Dirichlet逆為=μ'（n）。

如果我們在正整數上定義（復值）函數f（n）和g（n），則會出現這些擴展中的第一個的特定應用，

通過定義F（x）= f（⌊x⌋）和G（x）= g（⌊x⌋），我們推導出：

使用此公式的一個簡單示例是計算減少比例0 <

<1，其中a和b是互質的，b≤n。 如果我們令f（n）為這個數字，則g（n）是分數0<<1的總數，其中b≤n，其中a和b不一定是互質的。（這是因為每個分數

滿足gcd（a，b）= d和b≤n，並且可以減少到分數

，其中

，反之亦然）。這裏可以直接確定g（n）=

，但是f（n）更難計算。

另一個反演公式是（我們假設所涉及的系列是絕對收斂的）：

如上所述，這概括為α（n）是具有Dirichlet反α-1（n）的算術函數：

由於Möbius反演適用於任何阿貝爾組，所以組操作是作為加法還是作為乘法來表示沒有區別。 這產生了以下反演公式的符號變體：

第一個概括可以證明如下。 我們使用Iverson的約定，[condition]是條件的指標函數，如果條件為真，則為1，如果為false則為1。 ^[2]  我們使用的結果，

即1 *μ= i。我們可以進行一下證明：

在α（n）代替1的更一般情況下的證明基本上是相同的，如第二次泛化。 ^[3]