默比烏斯變換

公元1858年，德國數學家默比烏斯(Mobius，1790~1868)發現：把一個扭轉180°後再兩頭粘接起來的紙條，具有魔術般的性質。因為，普通紙帶具有兩個面(即雙側曲面)，一個正面，一個反面，兩個面可以塗成不同的顏色；而這樣的紙帶只有一個面(即單側曲面)，一隻小蟲可以爬遍整個曲面而不必跨過它的邊緣!這種由莫比烏斯發現的神奇的單面紙帶，稱為"莫比烏斯帶"。明尼蘇達大學的研究人員道格拉斯·阿諾德和喬納珊·羅格尼斯製作的錄像對"莫比烏斯變換"這一深奧而有趣的現象進行了深入淺出的描述。

莫比烏斯變換是定義在擴充複平面上的（擴充複平面是指在普通的複平面加入無窮遠點構成的集合）

擴充複平面可以看做是一個球面，它的另一個名稱就是黎曼球面。每個莫比烏斯變換都是從黎曼球面到它自身的一一對應的共形變換。事實上，所有這樣的變換都是莫比烏斯變換 ^[1]  。

所有莫比烏斯變換的集合在函數複合作用下構成一個羣，稱為“莫比烏斯羣”，記作

。這個羣是黎曼球面（作為一個黎曼曲面）的自同構羣，因此有時也被記作：

莫比烏斯羣同構於三維雙曲空間中的保向等距同構羣，因此在三維雙曲空間中的子流形的研究中佔有重要地位。

對於給定的數論函數

，定義新的數論函數：

稱

為

的默比烏斯變換，而

為

的默比烏斯逆變換。

在幾何學裏，默比烏斯變換是一類從黎曼球面映射到自身的函數。用擴展複平面上的複數表示的話，其形式為 ^[2]  ：

其中z,a,b,c,d為滿足ad−bc≠0的（擴展）複數。

(當ad=bc的時候這個表達式退化成一個常數，通常約定常數函數不是默比烏斯變換）。

當c≠0時，定義

這樣便將默比烏斯變換擴展到整個黎曼球面上。

如果c=0，那麼定義

這樣定義後，默比烏斯變換就成為了黎曼球面上的一個一一對應的全純函數。

由於對默比烏斯變換的每一個係數乘上一個相同的係數

後不會改變這個變換：

所以也有的定義中將ad−bc≠0的條件改成ad−bc=1。這樣的定義下得到的默比烏斯變換可以説是“約簡後”的默比烏斯變換。

默比烏斯變換也可以被分解為以下幾個變換：把平面射影到球面上，把球體進行旋轉、位移等任何變換，然後把它射影回平面上。默比烏斯變換是以數學家奧古斯特·費迪南德·莫比烏斯的名字命名的，它也被叫做單應變換（homographic transformation）或分式線性變換（linear fractional transformation）。

默比烏斯變換的實質與反演密切相關。實際上，一個形如

的默比烏斯變換可以分解成四個變換 ^[3]  ：

1)

（按d/c做平移變換）；

2)

（關於單位圓做反演變換然後關於實數軸做鏡面反射）；

3)

做關於原點的位似變換然後做旋轉）；

4)

（按a/c做平移變換）。

這四個變換的複合就是默比烏斯變換：

在這種分解之下，可以清楚地看出默比烏斯變換的不少基本性質。

首先，由於以上分解中的每個變換都是可逆的（它們的逆變換也十分清楚），因此可以容易地看出，默比烏斯變換的逆變換也是一個默比烏斯變換，而且其表達式可以具體計算。

具體來説，設變換函數

，其中每一個

都是相應的

的逆變換（反函數），

那麼默比烏斯變換f的逆變換就是：

。

由於默比烏斯變換可以分解為平移、反演、位似與旋轉變換，因此能夠保持所有反演變換的性質。一個基本的例子是保角性：由於平移、反演、位似與旋轉變換都保持角度不變，因此兩個複數（或向量）之間的幅角差（夾角）在經過莫比烏斯變換後不變。

此外，一個廣義圓經過默比烏斯變換後，仍會映射到一個廣義圓。廣義圓是指黎曼球面上的圓，包括普通的圓形和帶無窮遠點的直線（可以認為是一個半徑無限大的圓）。這也是反演保持廣義圓的結果。當然默比烏斯變換並不是將圓映射到圓，將直線映射到直線，經過映射後直線可能變成圓，圓也可能變成直線。

默比烏斯變換也可以保持複數的複比不變。設有四個兩兩不同的複數

，對應擴充複平面上四個不同的點，它們經過默比烏斯變換後變成

四點，那麼複比：

當

中有一個或多個是無窮大時，複比就定義為相應逼近的極限。比如説當四個複數是

時，複比就是：

給定平面上三個不同點

，存在着唯一的一個默比烏斯變換

，使得

分別等於

。這個默比烏斯變換就是：

而由於對於另外的三個不同點

，也唯一存在一個默比烏斯變換

，使得

分別等於

。因此，對於任意一組出發點

，任意一組到達點

，都唯一存在一個默比烏斯變換，將

分別映射到點

。具體地説，這個變換就是

。作為推論，如果一個默比烏斯變換有三個不動點，那麼它是恆等變換。

默比烏斯變換構成的默比烏斯羣

和由二階復可逆矩陣所構成的二階復係數一般線性羣

有同態的關係。事實上，考慮一個二階的可逆矩陣：

，其中

，那麼由矩陣的係數

可以寫出一個默比烏斯變換：

而如果考慮映射：

則經過計算可以知道，

，也就是説：

因此

是一個羣同態。

對所有的複數

，

，所以變換

。因此，可以將起始空間由一般線性羣縮小到特殊線性羣

。而由於有且僅有單位矩陣

和負單位矩陣

在羣同態

下對應的默比烏斯變換是恆等變換，所以

的核是

。根據羣同態基本定理，有以下羣同構關係：

其中

為複平面上的射影特殊線性羣。