常數函數

在數學中，常數函數（也稱常值函數）是指值不發生改變（即是常數）的函數。例如，我們有函數f(x)=4，因為f映射任意的值到4，因此f是一個常數。更一般地，對一個函數f: A→B，如果對A內所有的x和y，都有f(x)=f(y)，那麼，f是一個常數函數。

請注意，每一個空函數（定義域為空集的函數）無意義地滿足上述定義，因為A中沒有x和y使f(x)和f(y)不同。然而有些人認為，如果包括空函數的話，那麼常數函數將更容易定義。

對於多項式函數，一個非零常數函數稱為一個零次多項式。

常數函數可以通過與複合函數的關係，從兩個途徑進行描述。 ^[2] 

下面這些是等價的：

f: A→B是一個常數函數。 對所有函數g, h: C→A, fog=foh（“o”表示複合函數）。 f與其他任何函數的複合仍是一個常數函數。 上面所給的常數函數的第一個描述，是範疇論中常數態射更多一般概念的激發和定義的性質。

根據定義，一個函數的導函數度量自變量的變化與函數變化的關係。那麼我們可以得到，由於常數函數的值是不變的，它的導函數是零。

例如：

如果f是一個定義在某一區間、變量為實數的實數函數，那麼當且僅當f的導函數恆為零時，f是常數。 對預序集合間的函數，常數函數是保序和倒序的；相反的，如果f既是保序的也是倒序的，如f的定義域是一個格，那麼f一定是一個常數函數。

常數函數的其他性質包括：

任一定義域和陪域相同的常數函數是等冪的。 任一拓撲空間上的常數是連續的。 在一個連通集合中，當且僅當f是常數時，它是局部常數。

在數學領域，兩個函數的複合函數指一個將第一個函數作用於參數，然後再將第二個函數作用於所得結果的函數。

具體來説，給定兩個函數f:X→Y和g:Y→Z，其中f的陪域等於g的定義域（稱為f、g可複合），則其複合函數，記為g∘f，以X為定義域，Z為陪域，並將任意x∈X映射為g(f(x))。有時也省略複合記號“∘”，直接寫作gf。

g∘f中的“∘”稱作ring運算子。

函數的複合滿足結合律：若f、g可複合，g、h可複合，則有：

函數的複合可以看作是二元關係複合的一個特例。