解析延拓

假定函數

與

分別在區域

與

中解析，

與

有一公共部分，在其上

成立，於是將

與

在

及

內的全體點上的數值集合看成一個解析函數

，則

在

中解析，在

中

，而在

中

。

函數

可以看成由拓展

的定義區域所得，故稱它為

的解析延拓。當然，根據同樣理由，

是

的解析延拓，這種拓展原給函數定義的方法稱為解析延拓。

欲使這個方法有意義，必須在適當條件下由它只能得出唯一的結果，以後我們將要證明它確實如此，在給出它的證明以前，先提一下，如果對單元實函數定義類似的方法，將會遇到怎樣的困難。

設在

中，

，人們自然會建議用此公式將

的定義拓展到其他

上。但困難在於兩個不同的公式可能在某一區間中表同一函數，而在另一區間中卻表不同的函數，並且也沒有明顯的理由來決定究竟哪個公式才為“正當”。例如在

中，上面的函數也可用級數

表示；但若以此級數的和定義函數，我們看到，它在區間

中的值等於

。

這個級數並不一致收斂，但即使對一致收斂級數，同樣的事情也會發生，例如級數

在一包含

的區間中一致收斂；倘若利用它把級數的和從正

延拓到負

，便得到並非希望的結果，即

的延拓為

^[1]  。

解析函數往往最初只在平面的某一限制區域中有定義，延拓的原則使我們能夠定義一個與它所在定義的任何特殊區域都無關的解析函數，它由原始函數與原始函數的全體延拓以及這些延拓的全體延拓等等組成。這樣我們就有可能在全體

上定義函數

，或者使它在某些特殊點外的任何點上都有定義，或者只在平面的某一限制區域中有定義，而再不能越出它的範圍。在最後的情形中，稱區域為函數的存在區域，它的邊界稱為函數的自然邊界，對於多值函數的情形，我們將在某些z上或在全體z上得到函數的多個不同數值。

初看起來，這個定義依賴於我們所由開始的函數的特殊定義，但因兩個互為延拓的函數間的關係是可逆的，因此全部這種過程都可顛倒過來，故此定義實際上與任何特殊出發點都無關 ^[1]  。

延拓的標準方法就是冪級數方法，假定我們從級數

出發，它在圓

中收斂。在圓中任取一個不同於a的點b，算出

與各階導數

的數值，就得到函數關於

乘冪的展開式。這個級數在任何以b為圓心並且完全落在原來圓內的圓中都一定收斂，它也可能在一個更大的圓中收斂，從而提供了函數的一個解析延拓，因此整個函數就可通過冪級數而構成。每一冪級數，或者與它等價的每組數值

稱為函數的元素。

下面的定理説明了以這種特殊方法作為標準方法的理由，用任何延拓方法得到的函數值也能通過冪級數方法得到。

命C為一連接點z=a與z=b的圍道，沿着這條圍道，我們已經用某種方法延拓了

，即我們有一列公式，這些公式在區域列

中定義了

，而

具有次之性質：( i ) C的每一點都是一個或多個D_n的內點；( ii )相繼的

互相交疊，而在公共部分上，

的不同定義有相同的值。

我們要用冪級數方法實現此同一過程，即要在C上找一列點

使在列中每一點上的收斂圓都包含下一點，並且用冪級數方法所得的值與用其他方法得到的相同。又用此方法，經過有限多步一定能夠達到b。

對於C上每一點z，都有一正收斂半徑

與之結合，並且

是z的連續函數，若

為相鄰二點，並以

與

表相應的收斂半徑，命

。因為

在以

為心、

為半徑的圓中正則，所以由柯西一泰勒定理得出

若

，用同樣方法，但將

與

對換，我們得到

即

因為與

相反的就是

所以無論如何，(2)恆成立。將(1)與(2)聯在一起，就證明了當

時有

，這就是需要的結果。

因為

連續，所以它一定能取得下確界；又因它恆正，所以它的下確界一定是正數，設此下確界為

。

我們從

上的冪級數出發，命

為沿圍道與a距離等於

的點，它落在a點處的收斂圓內，故能將函數展成

的冪級數，新的收斂半徑至少為

，所以又能達到沿曲線與a距離

的點

，照此方法繼續進行，很明顯地，經過有限次後一定能到達b。至於用這方法得到的 b上的數值與用其他方法得到的相等的事實可由一般的唯一性定理推出 ^[1]  。