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黎曼-西格爾公式
鎖定
- 中文名
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黎曼-西格爾公式
- 學 科
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數學
- 領 域
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數學
- 相關術語
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黎曼ζ函數
- 發現時間
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1932年
- 發現者
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Siegel
黎曼-西格爾公式介紹
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在
數學中，
黎曼-西格爾公式是
黎曼ζ函數的
近似函數方程誤差的漸近公式，前者是ζ函數的近似值，由兩個有限
狄利克雷級數的和來近似。Siegel (1932)在
波恩哈德·黎曼1850年代一篇未發表的手稿中發現這個公式。西格爾從
黎曼-西格爾積分公式中推導出它，這是一個涉及ζ函數圍道積分的表達式。該公式通常用於計算黎曼-西格爾公式的值，與
歐德里茲科-肖恩哈格算法相結合，可以大大加快算法的速度。當沿着關鍵線使用時，通常將其變換為關於Z函數的公式比較有用。
[1]
黎曼-西格爾公式定義
是函數方程
ζ(
s) =
γ(
1-s)
ζ(1 −
s)中出現的因數，且
是一個圍道積分，圍道的起點和終點在+∞處，並最多繞絕對值奇點2
πM圈。近似函數方程給出了誤差項大小的估計。Siegel (1932)和Edwards (1974)通過將
最速下降法應用於該積分，推導出黎曼-西格爾公式，將誤差項
R(
s)漸近展開為Im(
s)的負冪次級數。在應用中，
s通常位於關鍵線上，並且選擇正整數
M和
N約為(2
πIm(
s))。Gabcke (1979)發現了一個黎曼-西格爾公式誤差的較好界限。
黎曼-西格爾公式黎曼積分公式
黎曼證明了
積分圍道是一條斜率為-1的線，通過0和1之間。
他用此給出了以下ζ函數的積分公式：
- 參考資料
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1.
盧昌海. 黎曼猜想漫談[M]. 清華大學出版社, 2012.
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2.
Patterson, S.J., An introduction to the theory of the Riemann zeta-function, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 14, Cambridge: Cambridge University Press, 1988
