歐德里茲科-肖恩哈格算法

在數學中，歐德里茲科-肖恩哈格算法是一個用於評估多點上黎曼ζ函數的值的快速算法，由(Odlyzko&Schönhage1988)發現。其主要思想是使用快速傅里葉變換加速N個等O(N)間隔的值的有限狄利克雷級數的計算，從O(N²)步減少到O(N^1+ε)步（花費存儲O(N^1+ε)箇中間值的代價）。黎曼-西格爾公式，用於計算虛部為T點上黎曼ζ函數的值，使用約N=T^1/2項的有限狄利克雷級數，所以要找到N個黎曼ζ函數的值時，它將加速約T^1/2倍。這將找到虛部不超過T的ζ函數零點所需的時間從大約T^3/2+ε步減少到了大約T^1+ε步。

該算法不僅可以用於黎曼ζ函數，還可以用於狄利克雷級數給出的許多其他函數。該算法被Gourdon (2004)用於驗證黎曼猜想ζ函數的前10個零點。 ^[1] 

黎曼ζ函數ζ（s）的定義如下： 設一複數s，其實數部分> 1而且：

它亦可以用積分定義：

在區域{s: Re(s) > 1}上，此無窮級數收斂併為一全純函數（其中Re表示複數的實部，下同）。歐拉在1740考慮過s為正整數的情況，後來切比雪夫拓展到s>1。波恩哈德·黎曼認識到：ζ函數可以通過解析開拓來擴展到一個定義在複數域（s,s≠ 1）上的全純函數ζ（s）。這也是黎曼猜想所研究的函數。

雖然黎曼的ζ函數被數學家認為主要和“最純”的數學領域數論相關，它也出現在應用統計學（參看齊夫定律（Zipf's Law）和齊夫-曼德爾布羅特定律（Zipf-Mandelbrot Law））、物理，以及調音的數學理論中。 ^[1] 

黎曼猜想由德國數學家波恩哈德·黎曼（Bernhard Riemann）於1859年提出。它是數學中一個重要而又著名的未解決的問題（猜想界皇冠）。多年來它吸引了許多出色的數學家為之絞盡腦汁。 ^[1]