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狄利克雷級數
鎖定
狄利克雷級數定義
其中s是一個複數，an是一個複數列。
狄利克雷級數例子
最有名的狄利克雷級數要數黎曼ζ函數了，即數列an恆等於 1 時的情形。
另外一個是：
其中
是一個狄利克雷L函數。
還有：
其中φ(n) 是歐拉函數。以及：
其中 σa(n) 是因數函數。
其他關於因數函數d=σ0的等式還有：
對於Re(s)>1，ζ函數的對數由下式給出：
其中
為馮·曼戈爾特函數。
其導數由下式給出：
更廣泛的性質如下：對於一個劉維爾函數，
，有：
另外一個例子是關於拉馬努賈函數：
狄利克雷級數解析性質
是一個關於復變量s的函數。為了使得函數有意義，需要考慮使得右端的無窮級數收斂的s。
如果對任意n和k≥ 0，和an+an+ 1+ ... +an+k有界。那麼對 Re(s) > 0 的s，函數f收斂。
以上定義的函數f對於定義域中的s都是解析函數。
一般來説，一個狄利克雷函數的收斂軸標是指實軸上的一個數x0，使得對於複平面上處於直線y=x0右邊的半平面，函數都收斂（有定義）。
一般來説，與狄利克雷級數相對應的函數都可以解析擴展到更廣的領域中。
狄利克雷級數導數
其中ƒ(n)是一個完全積性函數，並且對於Re(s)>σ0，函數收斂，則有：
對於Re(s)>σ0收斂，其中
是馮·曼戈爾特函數。
狄利克雷級數乘積
對於
以及
如果F(s)和G(s) 分別對 Res>a和 Res>b的s絕對收斂，那麼
當
時，
如果a=b並且 ƒ(n) =g(n) 則有：
當
時，
