哈代

哈代的父親I．哈代(Hardy)是克蘭利中學的教師，母親索菲婭(Sophia)是林肯師範學院的教師，他還有一個妹妹．哈代的父母很有文化素養，也極重視數學，因經濟拮据未能上大學，卻為兒女提供了良好的教育。

哈代在童年時代就顯示出數學的機敏，在克蘭利中學接受早期教育時，表現出在數論方面的早慧與多方面的才能。13歲時，他獲得獎學金進入當時以數學家搖籃而著稱的温切斯特(Winches-ter)學院學習．1896年又獲入學獎學金進入劍橋大學三一學院繼續深造，他的數學生涯從此與劍橋緊密聯繫起來。哈代很早就養成喜歡自由提問和探索的習慣，在劍橋開始學習時，他對於機械的授課模式不滿，後來幸運地被允許轉聽應用數學家A．E．H．拉弗(Love)教授的課。這對於哈代後來成長為一名數學家至關重要．他在著作(文獻[3]，第29節)中生動地寫道：“第一個使我撥雲見日的是拉弗教授，他教了我幾個學期，使我對分析有了第一個嚴肅的概念。但最使我感激的是他建議我閲讀M．E．C．若爾當(Jordan)的名著《分析教程》(Cours d’analyse)．我永遠不會忘記我讀那本傑作時的震驚，這是我這代數學家受到的第一個啓迪，讀這本書時我才第一次認識到數學真正意味着什麼。”

哈代在大學學習期間成績優異。1898年，他參加了劍橋的數學榮譽學位考試，這是劍橋大學的傳統之一，始於18世紀。哈代成為一等及格者，這主要得益於他平時在迅速解題方面的有效訓練，但對傳統極具反抗精神的哈代認為這種考試是沒有意義的。1900年，他被選為三一學院的研究員，隨後以極大的熱情投入數學研究中，第二年與J．H．金斯(Jeans)共同獲得了史密斯獎金．1906年他成為三一學院的講師，直到1919年一直在那兒工作。1900—1911年間哈代寫出大量級數收斂、求積分及有關問題的論文，這些論文為他贏得了分析學家的聲望．1908年，他的名著《純粹數學教程》 ^[1]  (A course of pure mathematics)出版了，這部教科書改變了英國大學中的教學狀況．1910年，他當選為英國皇家學會會員。隨後，被哈代自稱為生活中的真正的轉折點出現了，1911年他開始了同J．E．李特爾伍德(Littlewood)的長期合作，1913年他發現了S．A．拉馬努金(Ramanujan)。

哈代長李特爾伍德8歲，他們結識於1904年，在長達35年的合作中，聯名發表了約100篇論文，其中包括丟番圖逼近、堆壘數論、數的積性理論、黎曼ξ函數、不等式、一般積分、三角級數等廣泛的內容。哈代-李特爾伍德極大函數，哈代-李特爾伍德圓法，哈代-李特爾伍德定理等聯繫着二人名字的數學成果正是他們親密合作的寫照．在他們集中合作的1920—1931年間，哈代執教於牛津而李特爾伍德執教於劍橋，他們通過學院的郵政來郵寄數學信件，即使二人同在三一學院時也是如此，並且他們達成一種默契：當互相收到信件時，先不讀解法，而是要獨立解決其中的問題，直到取得一致意見，最後由哈代定稿。當時，一些不瞭解內情的國外數學家認為李特爾伍德根本不存在，只是哈代虛構的一個筆名．事實上，李特爾伍德本身就是一個出色的數學家。通過這種密切的學術合作，二人互相切磋促進，共同建立了20世紀上半葉具有世界水平的英國劍橋分析學派。

哈代稱自己對拉馬努金的發現是他一生中的一段浪漫的插曲。拉馬努金出生於印度的馬德拉斯(Madras)，幼年即顯示出數學的興趣和才能，但因生活貧困，要不斷為生計奔波，只能靠自學汲取數學知識。1913年初他給哈代寄了一封信，信中陳述了他對素數分佈的研究並列有120條公式，涉及數學中多個領域．這些公式大部分已被別人證明，有些看起來容易，實際上證明起來很困難 ^[1]  。特別是後來被L．J．羅傑斯(Rogers)和G．N．沃森(Watson)證明的三個公式完全難倒了哈代。哈代確信拉馬努金是一位數學天才，於是邀請他到英國，但作為一個婆羅門教的信徒，拉馬努金對離開印度感到躊躇。哈代繼續力勸拉馬努金到劍橋，並經多方努力為他安排了獎學金，1914年4月，拉馬努金來到英國。哈代花了很多心血教授拉馬努金現代歐洲數學知識，他發現拉馬努金知識的侷限竟然與它的深奧同樣令人吃驚。拉馬努金對於證明僅有一種模糊不清的概念，對於變量的增量、柯西定理根本不熟悉，但是對於數值和組合方面的事實，連分數、發散級數及積分、數的分拆、黎曼ξ函數和各種特殊級數卻有深度的理解．他有很強的直覺和推理能力，其工作和思維方式多具挑戰性。在哈代和李特爾伍德等人的幫助下，拉馬努金進步很快，在素數分佈、堆壘數論、廣義超幾何級數、橢圓函數、發散級數等領域取得了很多成果．他在歐洲的5年裏發表了21篇論文，17篇註記，其中幾篇是與哈代合作的。他和哈代一起對整數分拆問題作出了驚人的解決，首創了正整數n的分拆數p(n)的漸近公式，這無疑源自拉馬努金那極強的洞察力和哈代對於函數理論的嫺熟掌握．哈代與拉馬努金的成功合作並未持續太久。1917年5月拉馬努金患上了肺結核病，由於戰爭條件及宗教信仰的束縛，拉馬努金未得到良好的醫治。1919年2月他回到了印度，次年4月去世，年僅33歲．哈代對這位印度數學奇才的英年早逝深感痛惜，他參與整理了拉馬努金的論文集，並著有《拉馬努金》(Ramanujan，1940)一書，書中包括關於拉馬努金生活和工作的12篇演講稿，比較詳細地記述了拉馬努金的生平和研究成果，並作了適當的評論，是瞭解和研究拉馬努金的重要文獻．哈代和拉馬努金這一段交往也長期被數學界傳為佳話。

1914年第一次世界大戰爆發後，哈代強烈反對對那些反戰者的殘酷迫害，譴責對進行反戰宣傳的B．A．W．羅素(Russell)的解職和監禁。

後來，在一本秘密傳播的小冊子《羅素和三一》(BerrardRussell and Trinity，1970)中，他描述了羅素事件及圍繞這件事掀起的巨大波瀾。1919年，他離開劍橋應聘牛津大學薩維爾幾何學教授，這一榮譽職位是依照英國數學家H．薩維爾(Savile)的意見設立的，他曾於1585—1592年任默頓學院院長．哈代在牛津創立了一個活躍的研究團體。1928—1929年間他前往美國普林斯頓做訪問教授，與美國數學家O．維布倫(Veblen)交換。1931年重返劍橋，接替E．W．霍布森(Hobson)成為塞得林(Sadleirian)純粹數學教授，居此位直至1942年退休。1947年，哈代當選為法國科學院外籍院士，是從各國各研究領域中選出的10位科學家之一。他還擔任過全國科學工作者學會主席，倫敦數學會主席．在他的數學研究生涯中，獲得了許多大學和研究院的獎勵。1920年獲皇家勳章，1929年獲德·摩根獎章，1940年獲西爾威斯特獎章，1947年獲皇家學會最高獎章科普利獎章。

哈代外貌漂亮，很有風度。他和妹妹都終生未婚，他得到了胞妹始終如一的精心照料，尤其在他的晚年。1947年，哈代在劍橋辭世。

除熱衷數學研究之外，哈代的主要興趣在球類運動上，尤其對於板球，他是一個能夠掌握最新技術的球手和經驗豐富的評論家。

哈代曾説他之所以選擇數學作為自己的事業主要是因為數學是他能做得最好的一件事，而不是由於別的堂皇的理由。他的數學成就基於他對數學的無限熱愛和全身心投入。他説研究工作一直是他一生中經久不衰的一大樂事，數學是他為之耗盡了畢生精力的學科。

哈代在《一個數學家的自白》中表達了他對數學的看法。這本書在西方數學界有一定的影響，經常被引用，但其中的某些觀點也是有爭議的。對於數學是否有其自身的存在狀態，哈代寫道：我認為數學實體是在我們之外而存在的，我們的作用就是去發現它、觀察它，那些被誇張地描繪成我們的‘創造物’的定理，不過是我們觀察的記錄而已。”對於數學美，哈代認為：“數學的美可能很難定義，但它的確是一種真實的美”，“最好的數學既是美的，同時又是嚴肅的”。哈代對數學的應用，特別是應用於戰爭很反感．他將純粹數學視為真正的數學而與應用數學劃清界線．他得出結論：“純粹數學就總體而論顯然比應用數學有用．一個純粹數學家似乎不僅在美學方面而且在實用方面都佔有優勢．因為有用的東西主要是技巧，而數學技巧主要是通過純粹數學來傳播的．”“真正的數學對戰爭毫無影響”，“是一門‘無害而清白’的職業。”

哈代被公認為他所處時代的英國純粹數學的領導人，他的活力和熱情清晰地印在所有認識他的人的記憶中，他的作品顯示出了他過硬的專業知識和對英語文體的精通．“我曾為知識領域添磚加瓦，也曾幫別人添枝加葉；這些東西的價值，比起身後留下某種紀念物的大數學家或任何其他大大小小的藝術家們創造的價值，只是程度上有所不同，性質上並無差異．”這就是哈代對自己一生的總結和評價。

哈代被譽為20世紀傑出的分析學家，他的數學貢獻涉及解析數論、調和分析、函數論等方面。他一生著述頗豐，計有8部專業書籍和大約350篇論文，包括獨著或合作的，全部在《倫敦數學會雜誌》(Journal of the London Mathematical Society，1950年)中列出，論文選從1966年開始在牛津出版了7卷，由倫敦數學會的成員校訂，並附有註釋。

作為一位知名數學家，哈代的人品和他的學問同樣受到讚譽。他健談，談話可以吸引周圍很多人；他嚴於律己，參加該出席的各種會議，履行自己的職責；他富於正義感，痛恨戰爭，一生中不喜歡任何虛偽的東西。

哈代為人謙和，經常強調其他合作者的重要性而對自己輕描淡寫，他曾説過正是得益於與李特爾伍德和拉馬努金的平等合作才達到了他不尋常的大器晚成。哈代具有出色的與他人合作的才能，E．C．蒂奇馬什(Titchmarsh)、A．E．英哈姆(Ingham)、波利亞、E．蘭道(Landau)、M．里斯等20世紀數學領域中的精英人物都曾是他的合作者。哈代引導許多年輕人邁入他們早期研究的大門，在他們面臨困難時給予幫助和鼓勵。N．維納(Wiener)在他的自傳《我是一個數學家》(I am a mathematician，1956)中多次表達了他對哈代的欽佩與感激之情。華羅庚在赴劍橋大學進修時亦得到過哈代的指導和幫助。1936年，華羅庚被維納推薦給哈代，惜才的哈代對華羅庚極為賞識。華羅庚在解析數論，尤其是圓法與三角和估計方面的研究成果是與他在劍橋的學習和研究分不開的。