特殊函數

特殊函數是指一些具有特定性質的函數，一般有約定俗成的名稱和記號，例如伽瑪函數、貝塞爾函數、菲涅耳積分等。它們在數學分析、泛函分析、物理研究、工程應用中有着舉足輕重的地位。許多特殊函數是微分方程的解或基本函數的積分，因此積分表中常常會出現特殊函數，特殊函數的定義中也經常會出現積分。傳統上對特殊函數的分析主要基於對其的數值展開基礎上。隨着電子計算的發展，這個領域內開創了新的研究方法。因為微分方程的對稱性在數學和物理中的重要性，特殊函數理論也與李羣和李代數密切相關。 ^[1] 

事實上，對於哪些函數屬於特殊函數，並沒有明確的規定。函數列表中列出了一些通常被認為的特殊函數。廣義上，基本超越函數（即指數函數、對數函數、非有理次冪的冪函數、雙曲函數、三角函數等週期函數）也稱為特殊函數。

許多特殊函數作為微分方程或基本函數積分的解出現。

因此，積分表通常包括特殊函數的描述，特殊函數表包括最重要的積分，至少是特殊功能的整體表現。

由於微分方程的對稱性對物理和數學都是至關重要的，所以特殊函數理論與李羣和李代數的理論以及數學物理學中的某些主題密切相關。符號計算引擎通常識別大多數特殊功能。 並不是所有這樣的系統都具有有效的算法用於評估，特別是在複雜的平面上。

具有既定國際符號的函數是sin，cos，exp，erf和erfc。

一些特殊函數有幾個符號： ^[2] 

（1）自然對數可以寫為Log, log, log_eor ln；

（2）切線函數可以表示為Tan，tan或tg（特別是在俄語和保加利亞文學中）；

（3）反正切可寫為arctan，atan，arctg或tan；

（4）貝塞爾函數寫為

下標通常用於指示參數，通常是整數。 在一些情況下，分號（；）或甚至反斜槓（\）用作分隔符。 在這種情況下，對算法語言的翻譯承認歧義，並可能導致混淆。

上標可能不僅指示取冪，而且可以表示功能的修改。 示例（特別是三角函數雙曲函數）包括：

通常表示

；

是

，但是不是

；

通常表示

，而不是

，這經常導致混亂，因為使用該指數值的解釋與其他值不一致。

大多數特殊函數被視為複雜變量的函數，描述了奇點和切割。差分和積分表示是已知的，並且對泰勒級數或漸近序列的擴展是可用的。另外有時候還有其他特殊功能的關係；複雜的特殊功能可以用簡單的功能來表達。 各種表示可用於評估；評估函數的最簡單方法是將其擴展為泰勒級數。然而，如果有的話，這種表現可能會慢慢收斂。在算法語言中，通常使用有理近似，儘管它們在複雜參數的情況下可能表現不佳。

儘管三角學可以被編纂，自十九世紀以來，尋求一個完整統一的特殊函數理論已經持續發展。 1800 - 1900年間特殊函數理論的最高點是橢圓函數理論；從那時起，就假設三角函數和指數函數的分析函數理論是一個基本的工具。 本世紀末，還對球面諧波進行了非常詳細的討論。

當然，包括儘可能多的已知特殊函數的廣泛理論具有其吸引力，但其他動機也值得注意。長期以來，特殊函數應用於數學、物理科學和工程學確定了功能的相對重要性。

那麼這個理論有兩個方面：

相比之下，人們可能會説，數學中有一些典型的方法：漸近分析，複雜平面中的分析延續和單調，以及行列中無盡公式背後的對稱性原則和其他結構的發現。 事實上，這些方法之間沒有真正的衝突。

二十世紀對特殊函數理論興趣正濃。惠特克和沃森（1902）的經典教科書試圖通過使用複雜的變量來統一理論；G. N. Watson將貝塞爾功能理論技術儘可能地推廣到一種特別允許漸近研究的重要類型。

後來的貝特曼手稿項目，在亞瑟·埃裏迪亞（ArthurErdélyi）的編輯下，被百科全書收錄，當電子計算出現的時候，表格不再是主要的問題。

正交多項式的現代理論是一個確定但有限的範圍。 超幾何系列成為一個複雜的理論。李代數，特別是他們的表徵理論，解釋了一般的球面函數； 從1950年起，古典理論的實質部分可以用李代數來重寫。此外，代數組合的工作也喚起了對理論的較舊部分的興趣。 Ian G. Macdonald的猜想幫助開創了具有典型特色函數的新領域。

在數論中，傳統上研究了某些特殊功能，例如特定的狄裏克雷系列和模塊化形式。特別函數理論的幾乎所有方面都能在數論中反映出來，還有一些新的延伸，例如從月球理論中得到的函數。

（1）數學函數列表； ^[3] 

（2）特殊函數和同義詞列表。