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階乘函數

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一個正整數的階乘（英語：factorial）是所有小於及等於該數的正整數的積，並且有0的階乘為1。自然數n的階乘寫作n!。1808年，基斯頓·卡曼引進這個表示法。
中文名
階乘函數
外文名
factorial function
領    域
數學
類    型
函數

目錄

  1. 1 定義
  2. 2 計算
  3. 3 變化
  4. ▪ 定義擴展
  1. ▪ 遞進/遞降階乘
  2. ▪ 雙階乘
  3. ▪ 廣義的雙階乘
  4. ▪ 多重階乘
  5. ▪ 廣義的多重階乘
  1. ▪ hyper階乘
  2. ▪ 超級階乘
  3. ▪ 自然數階冪

階乘函數定義

一個正整數的階乘（英語：factorial）是所有小於及等於該數的正整數的積，並且有0的階乘為1。自然數n的階乘寫作n!。1808年，基斯頓·卡曼引進這個表示法。
亦即n!=1×2×3×...×n。階乘亦可以遞歸方式定義：0!=1，n!=(n-1)!×n。
階乘亦可定義於整個實數（負整數除外），其與伽瑪函數的關係為：
n!可質因子分解為
，如6!=2×3×5。 [1] 

階乘函數計算

計算n!時，當n不太大時，普通的科學計算機都可以計算，能夠處理不超過
數值的計算機可以計算至69!。
當n很大時，可以用斯特林公式估計：
更精確的估計是：
其中

階乘函數變化

階乘函數定義擴展

階乘的定義可推廣到複數，其與伽瑪函數的關係為：
伽瑪函數滿足
。

階乘函數遞進/遞降階乘

遞進階乘：
遞降階乘：

階乘函數雙階乘

表示雙階乘，其定義為：

階乘函數廣義的雙階乘

無視上述定義的n!!因為即使值的N，雙階乘為奇數可擴展到最實數和複數z的注意到，當z是一個正的奇數則：
z!!定義為所有複數除負偶數。
使用它的定義，半徑為R的n維超球其體積可表示為：
n=1,3,5,...
n=2,4,6,...

階乘函數多重階乘

被稱為n的k重階乘，定義為：

階乘函數廣義的多重階乘

能將多重階乘推廣到複數（甚至是四元數）：

階乘函數hyper階乘

hyper階乘（hyperfactorial有時譯作過度階乘）寫作H（n），其定義為：
hyper階乘和階乘差不多，但產生更大的數。hyper階乘的增長速度卻並非跟一般階乘在大小上相差很遠。前幾項的hyper階乘為：
1,4,108, 27648, 86400000, ...

階乘函數超級階乘

1995年，尼爾·斯洛恩和西蒙·普勞夫定義了超級階乘（superfactorial）為首n個階乘的積。一般來説

階乘函數自然數階冪

階冪也稱疊冪或者重冪記作
（感嘆號!寫在自然數的右上角），它的定義是將自然數1至n的數由大到小作冪指數重疊排列，數學定義如下：
其中n≥1，前幾項的重冪數為：
1 , 2 , 9 , 262144 , ...
第5個重冪數是一個有183231位阿拉伯數字組成的超大自然數。
二次階冪：
相應地，m次階冪定義如下：
其中n，m≥1，且n，m
。 [2] 
參考資料
  • 1.    Ramanujan, Srinivasa (1988), The lost notebook and other unpublished papers, Springer Berlin, p. 339, ISBN 3-540-18726-X
  • 2.    Hadamard, M. J. (1894), Sur L’Expression Du Produit 1·2·3· · · · ·(n−1) Par Une Fonction Entière (PDF) (in French), OEuvres de Jacques Hadamard, Centre National de la Recherche Scientifiques, Paris, 1968