伽瑪函數

伽瑪函數（Gamma Function）作為階乘函數的延拓，是定義在複數範圍內的亞純函數，通常寫成

，負整數和0是它的一階極點。

（1）在實數域上伽瑪函數定義為：

（2）在複數域上伽瑪函數定義為：

其中

，此定義可以用解析延拓原理拓展到整個複數域上，非正整數除外。

（3）在以上定義中換元，可以得到伽馬函數另外兩個寫法：

（4）伽馬函數還有一種定義（歐拉無窮乘積定義）： ^[1] 

此式對複平面上除了負整數或0的點

都成立，因此可以作為一種普遍的定義。

（5）伽馬函數還有一種定義（維爾斯特拉斯無窮乘積定義）： ^[1] 

其中

是歐拉-馬歇若尼常數。

詳見不完全伽馬函數

1728年，哥德巴赫在考慮數列插值的問題，通俗的説就是把數列的通項公式定義從整數集合延拓到實數集合，例如數列1,4,9,16.....可以用通項公式n²自然的表達，即便 n 為實數的時候，這個通項公式也是良好定義的。直觀的説也就是可以找到一條平滑的曲線y=x²通過所有的整數點(n,n²),從而可以把定義在整數集上的公式延拓到實數集合。一天哥德巴赫開始處理階乘序列1,2,6,24,120,720,...,我們可以計算2!,3!,是否可以計算2.5!呢？我們把最初的一些(n,n!)的點畫在座標軸上，確實可以看到，容易畫出一條通過這些點的平滑曲線。

但是哥德巴赫無法解決階乘往實數集上延拓的這個問題，於是寫信請教尼古拉斯·伯努利和他的弟弟丹尼爾·伯努利，由於歐拉當時和丹尼爾·伯努利在一塊，他也因此得知了這個問題。歐拉於1729 年解決了這個問題，由此導致了伽瑪函數的誕生，當時歐拉只有22歲。

對

進行離散與連續展開，有

對比係數，有

必須在一致收斂域

內。

最後的積分中我們可以讓

取任意實數，這樣我們就把階乘延拓到實數集中了

1、通過分部積分的方法，可以推導出這個函數有如下的遞歸性質：

於是很容易證明，伽馬函數可以當成是階乘在實數集上的延拓，對於正整數n，具有如下性質：

2、與貝塔函數的關係：

3、在概率的研究中有一個重要的分佈叫做伽瑪分佈：

其中

。

4、對

，有

這個公式稱為餘元公式。

由此可以推出以下重要的概率公式：

5、對於

，伽馬函數是嚴格凸函數。

6、伽馬函數是亞純函數，在複平面上，除了零和負整數點以外，它全部解析，而伽馬函數在

處的留數為

Gamma 函數從它誕生開始就被許多數學家進行研究，包括高斯、勒讓德、魏爾斯特拉斯、劉維爾等等。這個函數在現代數學分析中被深入研究，在概率論中也是無處不在，很多統計分佈都和這個函數相關。Gamma 函數作為階乘的推廣，首先它也有和 Stirling 公式類似的一個結論：即當x取的數越大，Gamma 函數就越趨向於 Stirling 公式，所以當x足夠大時，可以用Stirling 公式來計算Gamma 函數值。Stirling公式常見的形式有

^[2] 

利用歐拉-麥克勞林公式還可導出更多階的漸近公式：

^[3] 

伽瑪函數的對數的導數稱為Digamma函數，記為

。

Digamma函數同調和級數相關，其中

其中

是歐拉常數。

而對於任意x有

在複數範圍內，Digamma函數可以寫成

而Digamma函數在

處的泰勒展開式為

函數

為黎曼zeta函數，是關於黎曼猜想的一個重要函數。

類似伽瑪函數，Digamma函數可以有漸進式：