不完全Γ函數

上不完全Γ函數和下不完全Γ函數的定義分別如下：

通過解析延拓可以將定義域拓展到C×C（除去可數個奇點外），詳見下文。

如無特別説明，在本文中，以x表示非負實數，以z表示任意複數。

在上面定義的約束條件下，通過分部積分，可以計算得遞歸關係：

以及反過來：

因為正常的

函數定義為：

故有：

以及

在最原始的定義式中，積分是沿着實軸進行的，故要求在γ(s,z)中，

運用上一小節裏面的關係式，可以用下式來進行解析延拓：

由比值審斂法可知，右邊的級數的收斂半徑是無窮大。

由魏爾斯特拉斯原理，下式中的函數，有時記作

，是關於s和z的整函數。

因此下面的分解式

的確給出了下不完全伽瑪函數的一個解析延拓。其中前兩個因子給出了下不完全伽瑪函數的奇點（即z=0或s為非正整數），而後面的因子則給出了下不完全伽瑪函數的零點。

下不完全伽瑪函數的多值性來自於因子z的多值性。如無特別説明，本文限制z的輻角絕對值小於π。

在選定了z的單值分支之後，下不完全伽瑪函數的積分定義式可以自然地拓展到z為任意複數的情形，只是此時該積分應該理解為複平面上的路徑積分，且積分路徑需避開單值分支間的割線。需注意的是此時仍然要求s的實部大於0，否則積分不收斂。

s為正實數的情形，有定義式有：

s為複數且不為非正整數的情形，可以證明：

後面的條件相當於要求z的實部為正值且輻角取主值。

根據上面的討論，下不完全伽瑪函數有下列性質：

當z為正實數，s為實部大於0的複數時，有定義顯然有：

由於伽瑪函數和下不完全伽瑪函數關於s,z都至少是亞純函數，上式可以自然地作解析延拓，並以此作為上不完全伽瑪函數的定義。下不完全伽瑪函數的多值性自然地導致上不完全伽瑪函數的多值性，下面的討論基於主分支。

進一步地，由黎曼可去奇點原理，由於等號右邊在s取非正整數時的鄰域內有界，故作為s的函數，非正整數是上不完全伽瑪函數的可去奇點，可以通過對等號右邊取極限來定義非正整數時上不完全伽瑪函數的值。下面以s=0為例來説明這種極限過程，其它情況可以類推得到。 ^[1] 

事實上，在下不完全伽瑪函數的積分表達式中，將指數函數用其泰勒展開式代換，得到：

即

上式實際上給出了γ(s,z)的一個級數表示，給定s後，由比值審斂法知上式的收斂半徑為無窮大。下面的討論將x換成z（z≠0）。

上式等號右邊第二項當s=0時有良好的定義，第一項在s→0時的極限存在，故等號右邊於s→0時的極限存在，並可以用它來定義等號左邊的值。

另一方面，由伽瑪函數的魏爾斯特拉斯無窮乘積表示有：

γ是歐拉-馬歇羅尼常數。於是，可以定義

這樣就證明了s=0的確是上不完全伽瑪函數的可去奇點。

上不完全伽瑪函數的其它解析性質可以由下不完全伽瑪函數和（完全）伽瑪函數的解析性質得到。結果如下：

注意最後一條對一般的s並不成立。特別地，當s為負實數且不為整數時，Γ(s)是實數，而Γ(s,0)沒有定義。

下面一組關係式都能夠由積分表達式直接得出，其中第三、四式中的函數是指數積分，第五、六式中的函數分別是餘誤差函數和誤差函數： ^[2] 

由不完全伽瑪函數的積分表達式顯然有：

儘管積分表達式為保證收斂性要加上s的實部大於零的限制，但上式並沒有這種限制。這可以通過s的實部大於零時的對應表達式兩邊作解析延拓證明。

另一方面，不完全伽瑪函數對s的偏導數是MeijerG-函數的特例，事實上，定義

則有：

更一般地：

式中(m-1)_n是下降階乘冪的Pochhammer記號。

事實上

利用上式和Mellin變換的性質，並作解析延拓，就可以得到上不完全伽瑪函數對參變量的高階偏導數的表達式。