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嚴格凸函數

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嚴格凸函數（strictly convex function）是一個定義在某個向量空間的凸子集C上的一類實值函數。若對於凸子集C中任意兩個向量p,q, 滿足f((p+q)/2)<(f(p)+f(q))/2, 則稱f(x)是定義在凸子集C中的嚴格凸函數。
中文名
嚴格凸函數
外文名
Strictly convex function
所屬學科
數學 [1] 

目錄

  1. 1 定義
  2. 2 判別方法
  3. ▪ 引理
  1. ▪ 推論1
  2. ▪ 推論2
  3. 3 嚴格凸函數的性質
  1. 4 注

嚴格凸函數定義

嚴格凸函數是定義在某個向量空間的凸子集C（區間）上的實值函數
(x) ，而且對於凸子集C中任意兩個向量p,q，
滿足 [1] 
則稱
是定義在凸子集C中的嚴格凸函數。容易證明，其定義等價於若
滿足
對任意兩個向量p,q成立。特別地，若這裏凸集C即某個區間 I ，那麼就是：設
為定義在區間 I 上的函數，若對 I 上的任意兩點
和
，有 [1] 
成立，則稱
是定義在區間I 中的嚴格凸函數。
在上面的定義中，若將小於號改變小於等於，則上面的函數稱之為凸函數。

嚴格凸函數判別方法

嚴格凸函數引理

為 I上的凸函數的充要條件是：對於I的任意三點
，總有
證明：
必要性：
設
，則有
，由凸性的定義代入，從而有
整理後即可得到。
充分性：
在I上任取兩點
，在
上任取一點
，由必要性的推導逆過程，可證得
故為I上的凸函數。
證畢。

嚴格凸函數推論1

為 I上的函數，下列條件等價：
1）
為 I上的凸函數的。
2）
為I上的增函數。
3） 對I上的任意兩點
，有

嚴格凸函數推論2

對於實數集上的凸函數，如果其二階導數在區間上非負，就稱為凸函數。如果其二階導數在區間上恆大於0，就稱為嚴格凸函數。

嚴格凸函數嚴格凸函數的性質

1）一元可微函數在某個區間上是嚴格凸的，當且僅當它的導數在該區間上嚴格單調增。
2）一元連續可微函數在區間上是嚴格凸的，當且僅當函數位於所有它的切線的上方：對於區間內的所有x和y，都有
。特別地，如果
，那麼c是
的最小值。
3）一元二階可微的函數在區間上是嚴格凸的，當且僅當它的二階導數是正的；這可以用來判斷某個函數是不是嚴格凸函數，但反過來不成立。更一般地，多元二次可微的連續函數在凸集上是嚴格凸的，當且僅當它的黑塞矩陣在凸集的內部是嚴格正定的。
4）嚴格凸函數的任何極小值也是最小值。嚴格凸函數最多有一個最小值。
5）對於嚴格凸函數
，水平子集
和
是嚴格凸集。
6）延森不等式 [1]  對嚴格凸函數 f 都成立。
7）如果
和
是嚴格凸函數，那麼
和
也是嚴格凸函數。
8） 如果
和
是嚴格凸函數，且
遞增，那麼
是嚴格凸函數。
9） 凸性在仿射映射下不變：也就是説，如果
是凸函數，那麼
也是凸函數。
等等性質。

嚴格凸函數注

某些教材的凸函數定義與此定義相反，即凸函數與凹函數相反。如北京大學版本和中山大學的數學教材。
參考資料
  • 1.    華東師範大學數學系．數學分析第四版：高等教育出版，2010