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歐拉積分

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歐拉積分是由瑞士數學家萊昂哈德·歐拉（Leonhard Euler , 1707.4.15~1783.9.18）整理得出的兩類特殊的含參變量的積分。由歐拉積分所定義的函數分別稱為伽馬函數和貝塔函數。它們對於積分的簡便運算有重要的運用。
中文名
歐拉積分
外文名
Euler integral
創始人
萊昂哈德·歐拉
性    質
兩類含參變量的積分
類    別
科學定義
包    含
伽馬函數、貝塔函數

目錄

  1. 1 基本信息
  2. 2 Γ函數
  3. ▪ 函數表達式
  1. ▪ 性質
  2. 3 B函數
  3. ▪ 函數表達式
  4. ▪ 性質
  1. 4 相互關係
  2. 5 應用

歐拉積分基本信息

含參量積分
這兩類特殊的含參量積分統稱為歐拉積分，其中前者又稱為
函數，後者稱為B函數。 [1] 

歐拉積分Γ函數

歐拉積分函數表達式

歐拉積分性質

定義域：
函數在s>0時收斂，即定義域為s>0.
連續性：在任何閉區間
(a>0)上一致收斂，所以
在s>0上連續。
可微性：
在是s>0上可導，且
遞推公式：
且當s為正整數時，有
的其他形式：
令
則有
令
則有 [1] 

歐拉積分B函數

歐拉積分函數表達式

歐拉積分性質

定義域：
的定義域為p>0,q>0。
連續性：
在p>0,q>0內連續。
對稱性：
遞推公式：
的其他形式：
令
則有
令
則有 [1] 

歐拉積分相互關係

歐拉積分應用

一、 [2]  求積分
解：設
，則
再作代換
得
二、 [3]  載流子濃度的統計分佈
在半導體物理中，處於熱平衡（非簡併）條件下的半導體導帶電子濃度
為
式中：
為導帶頂能量；
為導帶底能量；
為載流子有效質量；
為普朗克常數；
為玻爾茲曼常數；
為絕對温度；
為載流子能級；
為費米能級。
為了計算簡便，引入
代入（1）式得
計算（2）式時，如果
為某一個確定的數值，則無法進行積分求解。如果將x'換成∞，那麼，只需求解
就行。根據第二類歐拉積分（Γ-函數）
當
時
應用遞推公式
於是，
可求得。
參考資料
  • 1.    華東師範大學數學系．數學分析簡明教程．北京：高等教育出版社，2015
  • 2.    盧路加,張君會,趙志穩.歐拉積分性質及應用[J].亞太教育,2015,(20).
  • 3.    劉世清,牟海維,王立剛,高宇飛.第二類歐拉積分在半導體物理中的運用[J].大慶石油學院學報,2004,(4).