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含參量積分
鎖定
含參量積分(integral with parameters)是多元函數對其一部分自變量的積分。設f(x,y)為定義在矩形區域R=[a,b]×[c,d]上的二元函數,若對於[a,b]上每一固定的x值,f(x,y)作為y的函數在閉區間[c,d]上可積,則其積分值是x在[a,b]上取值的函數,記作I(x),即I(x)=∫dcf(x,y)dy,(x∈[a,b]),函數I(x)稱為定義在[a,b]上含參量x的正常積分,簡稱含參量積分;設f(x,y)為定義在區域G={(x,y)|c(x)≤y≤d(x),a≤x≤b)上的二元函數,其中c(x),d(x)為定義在[a,b]上的連續函數,若對於[a,b]上每一固定的x值,f(x,y)作為y的函數在閉區間[c(x),d(x)]上可積,則其積分值是x在[a,b]上取值的函數,記作F(x),即F(x)=∫d(x)c(x)f(x,y)dy,(x∈[a,b]),函數F(x)也稱為定義在[a,b]上含參量x的正常積分,簡稱含參量正常積分。設函數f(x,y)定義在無界區域R=[a,b]×[c,+oo)上,若對每一個固定的x∈[a,b],反常積分∫+∞cf(x,y)dy都收斂,則它是x在[a,b]上取值的函數,記作I(x),即I(x)=∫+∞cf(x,y)dy,(x∈[a,b]),稱式∫+∞cf(x,y)dy為定義在[a,b]上的含參量x的無窮限反常積分,簡稱含參量反常積分
[1]
。
- 中文名
- 含參量積分
- 外文名
- integral with parameters
- 所屬學科
- 數學
- 所屬問題
- 數學分析
- 簡 介
- 多元函數對其一部分自變量的積分
目錄
- 1 基本介紹
- 2 含參量積分的主要性質
含參量積分基本介紹
含參量積分是多元函數對其一部分自變量的積分,即形如
φ(x)=∫Bf(x,y)dy.
含參量積分含參量積分的主要性質
下面就f是二元函數情況(即只含一個參量的積分)略述含參量積分的一些主要性質.
1.含參量的常義積分的性質:
1) 若f在D={(x,y)|a≤x≤b,c≤y≤d}上連續,則由積分定義的函數
2) 若f在D上可微,fx(x,y),fy(x,y)在D上連續,則φ(x)在[a,b]上連續可微,且
2.含參量的無窮積分的性質:
1) 若f在E={(x,y)|a≤x≤b,c≤y<+∞}上連續,且
2) 若f及fx(x,y)在1)中E上連續,存在x0∈[a,b],使
3) 若f(x,y)及相應積分滿足1)的條件,則
4) 若f在F={(x,y)|a≤x<+∞,c≤y<+∞}上連續,