-
貝塔函數
鎖定
在概率統計和其他應用學科中會經常用到伽瑪函數和貝塔函數,有的反常積分的計算最後也會歸結為貝塔函數或伽瑪函數。貝塔函數又稱為 B 函數,需要注意這裏 B 是大寫希臘字母Beta而不是大寫英文字母;貝塔函數又稱為第一類
歐拉積分,而第二類
歐拉積分就是大名鼎鼎的
伽瑪函數Γ(x)。當P>0且Q>0時貝塔函數收斂。貝塔函數具有很好的性質,以及實用的遞推公式,另外需要注意的是伽瑪函數和貝塔函數之間的關係。
- 中文名
-
貝塔函數
- 外文名
-
Beta function
- 別 名
-
Beta函數,B函數,第一歐拉積分
- 基本性質
-
P>0,Q>0時連續,對稱性
- 重要關係
-
與Γ(x)、不完全Beta函數的關係
- 應用學科
-
概率統計
數學分析
貝塔函數貝塔函數簡介
在概率統計和其他應用學科中會經常用到
伽瑪函數和貝塔函數,有的反常積分的計算最後也會歸結為貝塔函數或伽瑪函數。
[1]
貝塔函數又稱為第一類歐拉積分,伽瑪函數也可稱為第二類歐拉積分。
[2]
稱該函數為貝塔函數,或 Beta 函數,B 函數。
當P<1 時,是以
為
瑕點的無界函數
反常積分;當
時,是以
為瑕點的無界函數反常積分,應用柯西判別法可證得當
時,這兩個無界函數反常積分都收斂,所以貝塔函數的定義域為
。
[3]
貝塔函數貝塔函數性質
貝塔函數連續性
證明:由於對任何
成立不等式
,而積分
收斂,故由魏爾斯特拉斯 M 判別法可知貝塔函數在定義域
內連續。
[3]
貝塔函數對稱性
推導過程:
貝塔函數遞推公式
貝塔函數近似公式
根據斯泰林公式,當P,Q比較大時,我們有近似公式
。
[3]
貝塔函數其他形式
貝塔函數與其它函數
與伽瑪函數的關係
(1)對於任意的正實數
,有關係表達式:
。
[3]
(2)當P、Q都是正整數時,我們可以將結果寫成
,其中
是
二項式係數。
與不完全貝塔函數關係
(1)
,很顯然當 x 取1時,結果就變成完全的貝塔函數了。
- 參考資料
-
-
1.
閆站立編.微積分 上冊.北京:高等教育出版社,2007:253-257
-
2.
周希朗編著.電磁場理論中的應用數學基礎 .南京:東南大學出版社,2006:39-41
-
3.
華東師範大學數學系.數學分析(下冊)(第三版).北京:高等教育出版社,2011:190-195
-
4.
陳文,孫洪廣,李西成著.力學與工程問題的分數階導數建模.北京:科學出版社,2010:242-243