劉維爾

劉維爾，1809年3月24日生於法國加來海峽省聖 奧梅爾，1882年9月8日卒於巴黎。

劉維爾的父親克勞德-約瑟夫·劉維爾(Claud－Joseph Liouville)是一位陸軍上尉，母親名叫泰雷茲·巴朗(Thérése Bal－land)。劉維爾是他們的次子，幼時先後就學於科梅西和土爾。1825年他來到巴黎綜合工科學校學習，A．M．安培(Ampère)擔任分析與力學課的老師，兩人曾共同探討電動力學問題。他於1827年11月轉入橋樑與公路學校，1831年獲學士學位。

畢業後不久，他辭去了在伊澤爾省的工程師職務，期望得到一份教職，以便專心從事學術工作。1831年11月，他被綜合工科學校教育委員會選為L．馬蒂厄(Mathieu)的分析與力學課助教，由此開始了自己近50年的科學研究生涯。

1833—1838年間，劉維爾曾在成立不久的中央高等工藝製造學校講授數學和力學，但內容均為初級的。為使自己的教學工作保持在大學水平上，他在1836年攻取了博士學位，論文題為“關於函數或其一部分的正弦與餘弦級數展開式”(Sur le dévelop－pement des fonctions ou parties de fonctions en séries dc sinuset de cosinus)，探討了傅里葉級數及其在各種力學、物理學問題中的應用，於同年在巴黎成書出版。

為適應法國數學研究的需要，劉維爾在1836年1月創辦《純粹與應用數學雜誌》(Journal de mathématiques pures et appliquées)，並親自主持了前39卷的編輯出版工作(第1輯，1—20卷，1836—1855年；第2輯，1—19卷，1856—1874年)。該雜誌刊登純粹、應用數學領域所有分支的論文，記錄了19世紀中期的40年裏數學活動的一部分重要內容，被後人稱為《劉維爾雜誌》(Liou－ville′s Journal)。

劉維爾不僅與當時一些重要的數學家保持着密切聯繫並定期發表他們的成果，而且熱心地對年輕學者進行指導，為他們發表著作提供機會。最值得一提的當屬他編輯發表E．伽羅瓦(Galois)的文章。1832年5月，伽羅瓦在決鬥中被殺，劉維爾整理了他的部分遺稿並刊登在1846年的《純粹與應用數學雜誌》上，他在代數方面的獨創性工作才得以為世人所知。

1838年，劉維爾接替馬蒂厄成為綜合工科學校的分析與力學課教席，一直工作到1851年他轉入法蘭西學院任數學教席為止。1839年6月和1840年，他又先後被推舉為巴黎科學院天文學部委員和標準計量局成員，定期參與這兩方面的活動。

劉維爾的學術活動在法國革命期間稍有中斷。1848年4月23日，他入選立憲會議，是默爾特行政區的代表之一，次年5月競選議員失敗，他的政治活動遂告結束。

1851年來到法蘭西學院後，劉維爾的教學工作相當自由，有更多的時間展開自己的研究工作，廣泛與他人探討。他在此職位上一直工作到1879年。不過從1874年他退出《純粹與應用數學雜誌》的編輯工作後，便不再發表著作，也很少參與法國學術界的活動了。劉維爾一生勤於學術工作，生活淡泊寧靜，每年都要回到家鄉土爾的舊居休假。他在1830年與表親瑪麗-路易絲·巴朗(Marie－Louise Balland)結婚，生有三女一子。

劉維爾認真研究了G．W．萊布尼茨(Leibniz)、約翰·伯努利(Johann Bernoulli)和L．歐拉(Euler)的著作。他在早期工作中儘可能地擴展微分和積分的概念，尤其是建立任意階導數的理論。

1832年12月7日和1873年2月4日，劉維爾先後向巴黎科學院提交兩篇論文，對代數函數和超越函數進行了分類，以此整理N．H．阿貝爾(Abel)、P．S．拉普拉斯(Laplace)等人關於橢圓積分的表示和有理函數的理論，在此基礎上，他於1834年給出了初等函數的分類：

有限個[url]復變量的代數函數為第0類初等函數；ez和logz為第1類初等函數；二者合稱為最多第1類初等函數。若已定義最多第n-1類初等函數，則它與最多第1類初等函數的複合稱最多第n類初等函數。是最多第n類而非最多第n-1類的初等函數稱第n類初等函數。

初等函數的積分在任何條件下仍為初等函數，也是他着重討論的問題。劉維爾涉足科學領域之際，由阿貝爾和C．雅可比(Jacobi)所建立的橢圓函數理論正處於蓬勃發展時期。1844年12月，劉維爾在給巴黎科學院的一封信中説明了如何從雅可比的定理(單變量單值亞純函數的週期個數不多於2，週期之比為非實數)出發，建立雙週期橢圓函數的一套完整理論體系。這是對橢圓函數論的一個較大貢獻。圍繞雙週期性，劉維爾展示了橢圓函數的實質性質，提出如下定理：

在一個週期平行四邊形內沒有極點的橢圓函數是常數；

橢圓函數在任一週期平行四邊形內的極點處殘數之和為0；

n階橢圓函數在一個週期平行四邊形內取任一值n次；

在一週期平行四邊形內零點之和與極點之和的差等於一個週期。

後來，到巴黎訪問的兩位德國數學家C．W．博爾夏特(Bor－chardt)和F．約赫姆塔爾(Joachimsthal)向劉維爾詳細請教了他的工作情況，而1850—1851年劉維爾在法蘭西學院講授的雙週期函數課程，也在C．A．布里奧(Briot)與J．C．布凱(Bou－quet)所著《雙週期函數論》(Théorie des fonctions doublementpériodiques，1859)一書中得到系統介紹。因此，儘管劉維爾的有關結論很少發表，仍能在法國內外迅速傳播併產生影響，雙週期函數的講義後來發表在1880年第88卷的德國《純粹與應用數學雜誌》上。

19世紀，隨着各種曲線座標系的引入和新的函數類如貝塞爾(Bessel)函數、勒讓德(Legendre)多項式等作為常微分方程的特徵函數而興起，確定帶邊界條件的常微分方程的特徵值與特徵函數，便成為日益突出的重要問題。劉維爾和他的朋友、力學教授C．斯圖姆(Sturm)在30年代同時鑽研了這類問題。

劉維爾對數論問題產生興趣是由費馬大定理開始的。1840年，他將費馬問題作了轉化，證明方程un+vn=wn的不可解性意味着x2n-y2n=2xn的不可解性。從1856年開始，劉維爾放棄了在其他方面幾乎所有的數學研究，而把精力投入到數論領域。

10年間，他在《純粹與應用數學雜誌》上發表了18篇系列註記和近200篇短篇註記，前者未加證明地給出了許多一般公式，為解析數論的形成奠定了基礎，後者則個別地討論了素數性質和整數表示為二次型的方法等特殊問題。

1836年，劉維爾與斯圖姆共同給出了關於代數方程虛根數目的柯西定理的證明；次年，他又用不同於阿貝爾的方法，解決了二元代數方程組的消元問題。這些都被J．A．塞雷(Serret)收入了他編寫的《高等代數教程》(Cours d’Algèbre superieure)第4版(1877)，得以在法國的學校中廣泛傳播。

為了發表伽羅瓦的著作，劉維爾從1843到1846年對其手稿進行了徹底的研究。在他為伽羅瓦的著作發表所寫的導言中，對伽羅瓦的工作給予了高度評價。他還邀請包括塞雷在內的一些朋友，參加關於伽羅瓦工作的系列演講。因此可以説，劉維爾間接地推動了近世代數學和羣論的發展。

在幾何學方面，劉維爾於1841年和1844年用消去理論證明並推廣了M．沙勒(Chasles)建立的曲線和曲面的度量性質，還發現一種新方法，以確定任意橢圓曲面的測地線，這是雅可比在研究雙曲超越數時引出的問題。1850年他負責出版了G．蒙日(Monge)的著作《分析在幾何中的應用》(Application de l′anal－yse àla géométrie)第5版，在書末附上了C． F．高斯(Gauss)的名著“關於曲面的一般研究”(Disquisitiones generales circa su－perficies curvas)和他本人寫的7篇註記。這些註記涉及曲線及其相對曲率和測地曲率、測地線方程、總曲率概念等。劉維爾還有少量文章涉及熱理論、電學、天體力學和理論力學等問題。