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劉維爾數

鎖定
超越數的存在是由法國數學家劉維爾（Joseph Liouville，1809—1882）在1844年最早證明的。關於超越數的存在，劉維爾寫出了下面這樣一個常數：a=0.110001000000000000000001000…，該常數是一個無限小數，劉維爾證明取這個a不可能滿足任何整係數代數方程，由此證明了它不是一個代數數，而是一個超越數。後來人們為了紀念他首次證明了超越數，所以把數a稱為劉維爾數。
中文名
劉維爾數
外文名
Liouville number
領    域
數學

目錄

  1. 1 定義
  2. 2 基本性質
  1. 3 劉維爾常數
  2. 4 超越性
  1. ▪ 證明
  2. 5 參見

劉維爾數定義

如果一個實數
滿足，對任意正整數
，存在整數
，其中
有
就把
叫做劉維爾數。
劉維爾在1844年證明了所有劉維爾數都是超越數，第一次説明了超越數的存在。 [1] 

劉維爾數基本性質

容易證明，劉維爾數一定是無理數。若不然，則
。 取足夠大的
使
，在
時有
與定義矛盾。 [2] 

劉維爾數劉維爾常數

這是一個劉維爾數。取
那麼對於所有正整數

劉維爾數超越性

所有劉維爾數都是超越數，但反過來並不對。例如，著名的e和
就不是劉維爾數。實際上，有不可數多的超越數都不是劉維爾數。

劉維爾數證明

劉維爾定理：若無理數
是代數數，即整係數
次多項式
的根，那麼存在實數
，對於所有
有
證明：令
，記
的其它的不重複的根為
，取這樣的A
如果存在使定理不成立的
，就有
那麼，
據拉格朗日中值定理，存在
和
之間的
使得
有
是多項式，所以
由於
和
，
矛盾。
證明劉維爾數是超越數：有劉維爾數
，它是無理數，如果它是代數數則
取滿足
的正整數
，並令
，存在整數
，其中
，有
與上式矛盾。故劉維爾數是超越數。 [3] 

劉維爾數參見

參考資料
  • 1.    Oxtoby, John C. (1980). Measure and Category. Graduate Texts in Mathematics. 2 (Second ed.). New York-Berlin: Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4684-9339-9. ISBN 0-387-90508-1. MR 0584443.
  • 2.    Olsen, Lars Ole Rønnow; Renfro, Dave L. (2006). "On the exact Hausdorff dimension of the set of Liouville numbers. II". Manuscripta Mathematica. 119 (2): 217–224. doi:10.1007/s00229-005-0604-z. MR 2215968.
  • 3.    The irrationality measure of π does not exceed 7.6304, according to Weisstein, Eric W. "Irrationality Measure". MathWorld.