代數函數

代數函數是指一類完全解析函數。指由不可約方程： ^[2] 

確定的多值函數，其中a_j(z)(j=0，1，…，n)是z的多項式。從這個w的代數方程可知對每一個z值確定多個w值，因此w=w(z)是一多值函數。代數函數是在擴充的複平面C^上僅具有有限多個代數支點和極點的完全解析函數；反之，具有上述特徵的完全解析函數，必滿足一不可約代數方程，且除去一個非零常數因子外此方程是惟一的。相應於代數函數的黎曼曲面是緊緻的，即閉曲面。此曲面的虧格即定義為代數函數的虧格。由方程(1)聯繫着的z和w的有理函數R(z，w)之積分：

稱為阿貝爾積分，其中w(z)的值是由z₀點選定的分支沿積分路徑解析開拓而得。它是一多值函數，其多值性不僅產生於R(z，w)的殘數，w(z)的多值性，而且還依賴於w(z)相應的黎曼曲面的拓撲性質。對於這個積分人們常尋找一系列標準形式，使得任一這類型的積分能通過適當的變數變換變為其中一個標準形式。

關於阿貝爾積分的研究導致代數函數的單值化問題，代數函數單值化又引起一般單值化理論的發展。在這方面，從19世紀下半期到20世紀的最初十年，世界上許多著名數學家如黎曼(Riemann，G.F.B.)、克萊因(Klein，(C.)F.)、龐加萊(Poincaré，J.-H.)、施瓦茲(Schwarz，H.A.)、諾伊曼(Neumann，C.G.)和克貝(Koebe，P.)等人都做出了重要貢獻。 ^[3] 

以複數為係數的二元不可約多項式構成的方程P(z，w)=0所確定的(多值)解析函數w=w(z)，被稱為代數函數。代數函數論開始於19世紀初高斯、阿貝爾和雅可比等人關於橢圓函數的研究，隨着黎曼、外爾斯特拉斯關於函數論基礎的確立，它就形成了完整的理論。歷史上，代數函數論沿着三個不同的方向發展起來。方程P(z，w)=0確定了以z，w為座標的二維復射影空間中的曲線，從這個角度來研究的，開始於黎曼、克萊布什、哥爾丹等人，經過布里爾、M.諾特和意大利學派的塞韋裏、塞格雷等人的工作，已與現代的代數幾何聯繫起來。這時代數函數被視為代數簇上的有理函數，因此用代數幾何的方法來研究。把代數函數作為黎曼面上的函數(視為黎曼面和複流形上的亞純函數)來研究的所謂“解析方法”是黎曼、阿貝爾和外爾斯特拉斯的基本思想，它由C.F.克萊因、希爾伯特所繼承，進一步由外爾整理成完美而嚴密的形式。通過代數函數域來研究代數函數的純代數方法，開始於19世紀末戴德金和韋伯的研究，隨着20世紀早期抽象代數的發展，這個方向取得了包括一般係數域和復變量代數函數理論在內的許多結果。人們還特別認識到代數函數論與數論之間的類似之處，因而代數函數論的研究也促進了數論的發展。以上三種不同的觀點，最初不僅表現在它們所採用的方法和表達方式的不同，而且它們所使用的術語也不同。然而，隨着時間的推移，人們發現，隨着代數方法的發展，許多首先用函數論和幾何方法得到的結果，如果利用這些方法的代數類似物，則往往可以成功地應用於更一般的域的情形，因此這些差異已變得無關緊要。

20世紀中後期，隨着計算機科學技術的迅猛發展，多元多項式的因式分解被認為是符號計算領域的起源。多元多項式的因式分解是代數學中基本的內容之一，也是數學研究的重要內容之一，它不僅是數學學科中相當困難的問題之一還是符號計算中最基本的算法。在現代計算機代數系統中，代數代數函數域上的多項式因式分解計算有着非常重要的地位。目前，代數數域上多項式的因式分解的研究已相對完善，無論是在算法的實現上還是算法的高效性上都便於操作，因此前人提出的許多的代數數域上的因式分解算法都得到了廣泛的應用，如Barry M.Trager在1976年提出的算法，然而隨着數學研究的不斷深入，對於代數函數域上的因式分解就顯得不那麼容易了，它不僅運算量龐大而且在算法的具體操作上也比較的複雜。因此，探究代數函數域上多元多項式的因式分解算法不僅具有理論上的意義，還具有很重要的應用價值。 ^[4] 

亦稱全純函數或正則函數，是解析函數論的主要研究對象。對於定義於複平面上區域D內的復變量z的單值函數f(z)，如果它在D內的每個點z₀的一個鄰域內都可以用z-z₀的冪級數表示，則稱f(z)在D內解析。外爾斯特拉斯(Weierstrass，K.(T.W.))從冪級數出發，建立了解析函數的級數理論.如果在D內的每個點z處，極限：

(稱為函數f(z)在z點的導數)都存在，柯西(Cauchy，A.-L.)稱f(z)在D內是解析的。這兩個定義是等價的。函數f(z)=u(x，y)+iv(x，y)，z=x+iy在D內解析的另一個等價條件是：u=u(x，y)，v=v(x，y)在D內的每一個點z=x+iy處存在連續偏導數，並且滿足柯西-黎曼方程(或稱柯西-黎曼條件)：

這個條件有時簡稱C-R條件或稱達朗貝爾-歐拉條件。函數f(z)在區域D內解析的第四個等價條件是莫雷拉定理。

解析函數是指能局部展成冪級數的函數，它是複變函數論研究的主要對象。解析函數類包括了數學及其在自然科學和技術應用中所遇到的大多數函數，這類函數關於算術、代數和分析的各種基本運算是封閉的，解析函數在其自然存在的域中代表唯一的一個函數，因此，對解析函數的研究具有特殊的重要性。

對解析函數的系統研究開始於18世紀。歐拉在這方面做出許多貢獻。拉格朗日最早希望建立系統的解析函數理論，他曾試圖利用冪級數的工具來發展這種理論，但未獲成功。

法國數學家柯西以他自己的工作被公認為是解析函數理論的奠基者。1814年他定義正則函數為導數存在且連續，他批判了過去許多錯誤的結果，創立了若干法則，以保證級數運算的可靠性。1825年他得到了著名的柯西積分定理，隨後又建立了柯西積分公式。柯西利用這些工具得到了正則函數在它的定義域內處處可表為收斂的冪級數的結果，其逆命題亦真。所以解析和正則是等價的。後來黎曼對柯西的工作做出了重要的發展。1900年，法國數學家古爾薩改善了正則函數的定義，只要求函數在定義域中處處有導數。

外爾斯特拉斯以冪級數為出發點開展對解析函數的研究。他定義正則函數為可以展開為冪級數的函數，創立了解析開拓理論，並利用解析開拓定義完全解析函數。柯西的方法限於研究完全解析函數的所謂單值分支，必須通過解析開拓才能和外爾斯特拉斯的理論統一起來。 ^[5]