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多元多項式
鎖定
多元多項式(polynomial of several variables )是
一元多項式的推廣,它是多項式理論研究的重要對象。有限多個
單項式之和(假設其中不含同類項)稱為
n元多項式,簡稱
多項式,n元多項式f中非零單項式的最高次數稱為多項式f的
次數,記為 deg f。只含零單項式的多項式稱為
零多項式,記為0,零多項式的次數規定為-∞。
[1]
- 中文名
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多元多項式
- 外文名
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multivariatepolynomial
- 所屬學科
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數學
- 相關概念
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字典排序法、一元多項式等
- 定 義
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有限多個單項式之和(假設其中不含同類項)
多元多項式基本知識
多元多項式相關知識
設K是一個
數域,
是幾個文字(也可稱為變量),
是非負整數,
,稱
為一個
單項式(monomial)。某個指數
表示變量
不出現,當所有的指數全部等於0時,相應的單項式就是常數項
,
稱為此單項式的
係數,當
≠0時,
稱為此單項式的
次數,係數為0的單項式稱為
零單項式,簡記為0,零單項式的次數規定為
,為了表示方便,常常把單項式(1)中各個字母的方冪看成一個n維向量
稱為這個單項式的
指數向量。並把單項式(1)簡記為
,又把向量
的分量之和表為
,於是有(假設
)
顯然指數向量的分量都是非負整數,因此有
兩個單項式:
如果滿足
就被稱為
同類項,也就是説,
與
是同類項當且僅當它們的指數向量相等,即
。
[1]
多元多項式n元多項式的定義
有限多個單項式之和(假設其中不含同類項)
稱為
n元多項式,簡稱
多項式,n 元多項式
中非零單項式的最高次數稱為多項式
的
次數,記為
。只含零單項式的多項式稱為
零多項式,記為0,零多項式的次數規定為
,例如若
有很多時候需要把多元多項式看成其中某一個變量,例如
的一元多項式
這裏的係數
都是多項式環
中的元素,我們把
作為某個變量
的一元多項式的次數稱為
關於
的次數,記為
。
[1]
和一元多項式一樣,對於n元多項式也可同樣地定義相等、相加、相減和相乘,例如當兩個單項式是同類項時,可以通過係數相加而合併成一項:
n元多項式的加法和乘法具有與一元多項式相同的性質,因此把數域K上所有以
為變量的n元多項式的集合記為
多元多項式多項式的排序問題
我們要研究
單項式的排序問題,對於一元多項式,按各個項的次數來排列是最自然的,但是對於多元多項式,有相同次數的項不止一個,單按次數排列具有不確定性,所以有必要採用
字典排列法。為此首先在指數向量的集合內定義一個序:對於
,如果存在
使得
從這個定義立即可以看出,對於任意兩個不相等的指數向量
,不是
就是
,兩者必居其一。而且關係“
”還具有傳遞性,即從
與
可以得出
,這説明“
”確實是指數向量集合的一個序,利用指數向量的序就可以定義單項式的序,即
我們把這個序(包括指數向量的序以及單項式的序)稱為
字典序(lexicographicorder)。這樣就可以把多項式中的項按字典序排列,當n=1時這種排列法就是
降冪排列法,多項式中按字典排列法次序最前的非零項稱為此
多項式的首項。
[1]
多元多項式相關性質
字典排列法的首項有以下性質。
多元多項式定理1
兩個非零多項式的乘積的首項等於這兩個多項式的首項的乘積。
證明:設這兩個多項式是
,它們的乘積是
.設
的首項分別為
乘積多項式h中的任意單項式的指數向量具有
的形式,其中,
分別是
中的單項式的指數向量,因此有
我們要證
,並且等號成立當且僅當
。首先設
若
,則一定存在i≤n使得
而且只要
或
有一個成立,就有
這説明(2)式確是h的首項而且h中沒有同類項會和它相消。
[1]
多元多項式推論2
- 參考資料
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1.
陳志傑主編,韓士安,瞿森榮.高等代數與解析幾何 下:高等教育出版社,2008.12