一元多項式

設 a₀,a₁,…,a_n都是數域 F 中的數， n 是非負整數，那麼表達式a_nxⁿ +a_n-1x^n-1+…+a₂x² +a₁x+ a₀(a_n≠0) 叫做數域 F上一個文字 x 的多項式或一元多項式。

在多項式中，a₀叫做零次多項式或常數項，a₁x 叫做一次項，一般，a_ix 叫做i次項，a_i 叫做 i 次項的係數。一元多項式用符號 f(x)，g(x)，…來表示。

a_nx叫做多項式：a_nxⁿ+a_n-1x^n-1+…+a₂x²+a₁x+ a₀(a_n≠0)的最高次項或首項。a_n稱為首項係數，非負整數 n 叫做多項式的次數。

最高次項是零次項的多項式，即 a(a≠0) 的次數為零，叫零次多項式。

係數全為零的多項式沒有次數，這個多項式叫零多項式，零多項式總可記為 0 。

例如： a+b 是關於 a 的一次多項式；3x+2x-5 是關於 x 的二次多項式；x+y 是關於 x 的三次多項式。

若是數域P上兩個一元多項式 f(x) 和 g(x) 有完全相同的項，或者只差一些係數為零的項，那麼 f(x) 和 g(x) 叫做相等，記作 f(x)=g(x)。

如：1+0x+5x+0x=1+0x+5x=1+5x，而3+1x+2x=3+x+2x≠3+x+x

按上述定義可知：兩個多項式

f(x)= a₀+a₁x+a₂x+…+a_n-1x+a_nx

g(x)=b₀+b₁x+b₂x+…+b_n-1x+b_nx

a₀=b₀，a₁=b₁，a₂=b₂，…，a_n-1=b_n-1，a_n=b_n

（1） 對於兩個次數都不超過n次的多項式 f(x) 及 g(x) ，如果對於變數 x 的 n+1 個不同的數都有相同的值，那麼這兩個多項式恆等。

（2） 如果多項式 f(x) 與 g(x) 對於變數的 x 的無限多個數都有相同的值，那麼它們是恆等的。

[polynomial]

多項式理論是代數學的一個古老的研究領域，早在公元前兩千年，巴比倫人就已經知道如何求二次方程的根式解。直到19 世紀初，代數方程的根式解仍然是代數學研究的主要內容。1824 年，挪威青年數學家阿貝爾(N.H.Abel)作出了創造性的貢獻，證明了一般五次方程的根式求解是不可能的。其後，法國年青的天才數學家伽明瓦(E.Galois) 給出了判別方程根式解的充要條件，徹底解決了這一難題。更為重要的是，伽羅瓦的新思想導致了羣論的創立，這對整個數學的發展產生了持續深遠的影響。多項式理論已成為一個完善、成熟的研究領域，其理論滲透到現代數學的各個分支中。

我們可以在任意環上定義一元或多元多項式，但是其理論過於一般化，缺乏深度。相對來説，域上的多項式理論有着更加豐富的內涵。例如，有理數域上的多項式理論是代數數論研究的對象。有限域上的多項式理論在編碼學、密碼學和組合設計等領域有重要的應用。因此，下面只介紹域上多項式的基本理論。

設 F 是一個域，如有理數域

，實數域

，複數域

,含有 q個元素的有限域

等。係數在 F 中關於一個文字x 的一元多項式指的是形式表達式

其中 n 是一個非負整數，

是 F 中的元素。文字 x 通常稱作變元（variable）或未定元（indeterminate）。

在表達式中，

稱為 i 次項，

稱為 i 次項的係數。兩個多項式

和

稱為相等的如果除去係數為零的項以外，這兩個多項式稱為零多項式，記作 0。用

記 F 上所有關於變元 x 的一元多項式構成的集合。若

，則稱 n 為

的次數（degree），記作

。此時，稱

為

的首項或最高次項，

為首項係數或最高次項係數。規定零多項式的次數為

。 ^[1]