完全解析函數

若函數在區域

內解析，且區域

的邊界

上每一點都是它的奇點，則它就不能越過區域

的任意一部分邊界解析開拓；若在

上有正則點，則此函數就可以越過邊界

解析開拓出去。對於開拓後得到的函數及區域，還可以再研究它能否進一步解析開拓，這樣就可以不斷地解析開拓，一直到不能開拓為止。為了刻畫這個事實，需要引進完全解析函數的概念。 ^[1] 

設所有標準元素集合由任一元素 P 沿所有若爾當曲線作解析開拓而得到，此曲線起點在元素 P 的圓心，且對此曲線可以作解析開拓，則稱這個標準元素集合為完全解析函數。我們指出，完全解析函數的概念不依賴於初始元素 P 的選擇。實際上，設 Q 是由初始元素 P 確定的完全解析函數的任一其他元素，這表示 Q 是由 P 沿着某條曲線開拓得出的。於是 P 可以由 Q 沿曲線開拓得出。如果兩個完全解析函數至少有一個共同元素，則這兩個函數被認為是相等的。 ^[2] 

一個完全解析函數

是一個一般解析函數，它包含其任一元素的所有解析開拓，

的定義域

稱為它的存在區域，

的邊界稱為

的自然邊界。 ^[3] 

定理內容：屬於完全解析函數的諸元素收斂圓的並集構成一個區域。

證明：設 D 是這個並集，它作為諸開集的並集是一個開集，即如果

，則

是某一元素的收斂圓，且

。設 a 與 b 是集 D 的任意兩點，則可求出兩個元素，使得a 與 b 是它們的圓心。這兩個元素是沿某一路線

互為解析開拓而得出的，這條路線是連結點 a 與 b 而成的。顯然

，因此 D 是連通開集，即一個區域，它稱為完全解析函數的自然定義域或它的存在域。

我們指出，完全解析函數不能是區域 D 內廣義的函數，因為它不是單值的。

定理內容：完全解析函數含有不多於圓心在一定點處的可數多個不同元素。

證明：設完全解析函數由圓心在點 a 處的初始元素

確定，z 是完全解析函數定義域 D 中的任意一點。設

是完全解析函數的一個元素，圓心在點 z 處，它可由元素

用圓心在點

的有限元素鏈得出，其中每後一個元素都是前一元素的直接解析開拓。不是一般性，可以設諸點

有有理座標。實際上，首先設圓心

是任意的。在點

的任意小的領域內取一個帶有理座標的點

，並用元素

代替

，根據沿路線解析開拓關於路線同倫形變的不變性定理，在

充分小時，按新鏈開拓的結果和按舊鏈開拓的結果相同。具有元素

有理圓心的元素

直接解析開拓集合是可數的，恰好與元素

的可數集一樣。給定

與點 z 就唯一地確定了元素

，因此不同元素

的個數不超過可數集。 ^[2] 

注意：研究完全解析函數的概念，不一定只利用標準元素，可以取任意元素，把完全解析函數看作是解析元素集合

，其中 a 取遍某一指標集

，這時元素中的每一個元素可由任意其他元素解析開拓得出。 ^[2] 

完全解析函數定義域的邊界點稱為它的奇點。

設

是完全解析函數

的一個孤立奇點，

是

定義域 D 內的一個去心鄰域。 ^[2] 

如果任一屬於

的標準元素

在沿着某閉路線

作解析開拓時沒有改變，則當若當曲線

與

在

內作解析開拓得出的任一元素

，在沿任一路線

開拓時沒有改變。

注意：由該引理可推出，在

內沿着與

同倫的路線解析開拓不改變元素，這樣的路線被收縮為任一元素的圓內路線，沿這些路線的解析開拓不改變元素。 ^[2] 

設

是完全解析函數

的孤立奇點，

是此點在

定義域內的去心鄰域，

是包圍點

的閉若當曲線，於是，如果：

（1）沿曲線

繞行將得到初始元素，則

稱為單值特徵的奇點；

（2）沿

繞行得到不同初始元素的元素，則

稱為多值特徵的奇點或支點。

設

是完全解析函數

的支點，

是包圍點

的閉若爾當曲線，於是，如果：

（1）存在這樣一個整數

，使

次同方向繞行

得到初始元素，並且

是具有上述性質的所有整數中的最小值，則

稱為

階支點；

（2）若不存在（1）中所述的整數，即同方向繞行

得出新而又新的元素，則

稱為無窮階階支點或對數支點。 ^[2] 

注意：容易檢驗，如果把曲線

換為

內與

同倫的任一若爾當曲線

，則支點的階數不變。 ^[2]