若爾當曲線

簡單曲線通俗説來即指的是：這條曲線不和自身相交。 ^[2] 

若當定理：平面上一條閉合（首尾相接）的若爾當曲線，把平面分成2個區域，並且如果在這兩個區域內分別取一點，再用一條曲線將其相連，則這條連線必定和原來的閉合若爾當曲線相交。它的證明需要用到拓撲學的知識。

若爾當曲線是以數學Jordan的名字命名，它又翻譯為：若當曲線，喬丹曲線，約當曲線等 ^[3] 

平面

中的若爾當曲線或簡單閉合曲線是圓在平面中的映射C，即：

。 平面上一條閉合（首尾相接）的若爾當曲線，把平面分成2個區域，並且如果在這兩個區域內分別取一點，再用一條曲線將其相連，則這條連線必定和原來的閉合若爾當曲線相交。

或者，若爾當曲線是φ：[0,1]→R2上的連續映射，使得φ（0）=φ（1），並且φ至[0,1]的限制是認可的。 前兩個條件説C是連續循環，而最後一個條件規定C沒有自交點。

通過這些定義，約旦曲線定理可以表示如下：

令C為平面R2中的若爾當曲線。 那麼它的整個區域由兩個相連的部分組成。 這些部分中的一個是有界的（內部），另一個是無界的（外部），曲線C是每個部分的邊界。 ^[4] 

若爾當曲線定理被H. Lebesgue和L.E.J.獨立地推廣到更高的維數。 Brouwer在1911年，推導出了Jordan-Brouwer分離定理：

令X是（n + 1）維歐幾里得空間Rⁿ⁺¹（n> 0）中的拓撲球，即n球Sⁿ注入到Rⁿ⁺¹中的注入連續映射的圖像。那麼Rⁿ⁺¹中X的互補部分Y由兩個連接的部分組成。這些部分中的一個是有界的（內部的），另一個是無界的（外部的）。集合X是它們的共同邊界。

證明使用同源性理論。首先確定，更一般地説，如果X與k同位，則Y = Rn + 1 \ X的縮小的積分同源性組如下： ^[5] 

這通過使用邁耶-菲托里斯序列在k中的歸納證明。當n = k時，Y的同質性減少為1，這意味着Y具有2個連通分支（此外，道路連接），並且有一點額外的工作，一個表明它們的共同邊界是X. JW亞歷山大發現了進一步的泛化，他建立了Rⁿ⁺¹的緊子集X的減少的同源性和其補體減少的同源性之間的亞歷山大二重性。如果X是沒有邊界的Rⁿ⁺¹（或Sⁿ⁺¹）的n維小型連接子集，則其補碼具有2個連接分量。

若爾當曲線定理有一個加強，稱為若爾當 - 施諾因定理，其中指出，由R2中的約旦曲線確定的內部和外部平面區域與單位盤的內部和外部是同構的。特別地，對於內部區域中的任何點P和約旦曲線上的點A，存在將P與A連接的Jordan弧，並且除了端點A之外，完全位於內部區域中。 Jordan-Schönfly定理的一個替代和等價的公式表明，任何若爾當曲線φ：S¹→R²，其中S1被看作平面中的單位圓，可以擴展到平面的同構ψ：R²→R²。不像Lebesgues和Brouwer對若爾當曲線定理的泛化，這個説法在更高的維度上變得虛假：雖然R3中的單位球的外部是簡單的連接，因為它縮回到單位球體上，亞歷山大角球是R³的一個子集與球體同胚，但是在空間上如此扭曲，其R3中的補體的無界分量不是簡單地連接，因此不能與單體球的外部同胚。 ^[6] 

首先，若爾當曲線定理的陳述似乎是顯而易見的，但它是一個相當困難的定理來證明。伯納德·博爾扎諾（Bernard Bolzano）是第一個擬定一個精確猜想的人，認為這不是一個不言而喻的陳述，但它需要一個證明。對於多邊形線，很容易建立這個結果，但問題出現在各種不良行為曲線中，其中包括無差異曲線，如科赫雪花和其他分形曲線，甚至是由奧斯古德（1903）建造的正面積的若爾當曲線。

這個定理的第一個證明是卡米爾·喬丹在他的真實分析講座中給出的，並在他的書“分析科學技術學院”中發表。若爾當的證據是否完整，有一些爭議：大多數評論家都聲稱，奧斯瓦爾德·凡勃倫（Oswald Veblen）後來提出了第一個完整的證明。

然而，他的證明對許多數學家來説是不能令人滿意的。它在一個簡單的多邊形的重要特殊情況下就沒有證明這個定理，而從這一點來看，至少必須承認所有細節都沒有給出。

不過，Thomas C. Hales寫道：

幾乎每一次我發現的現代引文都同意，第一個正確的證明是由於Veblen ...鑑於對若爾當證據的沉重批評，當我坐下來閲讀他的證據，沒有發現任何令人反感的時候，我感到驚訝。從那時起，我已經聯繫了一些批評若爾當的作者，每一案件都是作者承認沒有直接瞭解若爾當證據的錯誤。

哈爾斯還指出，簡單多邊形的特殊情況不僅是一個容易的運動，而且還沒有真正用於若爾當，引用邁克爾·雷肯説：

若爾當的證明基本上是正確的...若爾當的證明不能以令人滿意的方式呈現細節。但是這個想法是正確的，有了一些拋光，證明將是無可挑剔的。

若爾當的證據和de laVallée-Poussin的另一個早期證明後來被Schoenflies（1924）批評性地分析和完成。

由於若爾當曲線定理在低維拓撲和複雜分析中的重要性，受到20世紀上半葉突出數學家的關注。定理及其概括的各種證明由J.W Alexander，Louis Antoine，Bieberbach，Luitzen Brouwer，Denjoy，Hartogs，BélaKerékjártó，Alfred Pringsheim和Arthur Moritz Schoenflies構建。

若爾當曲線定理的新的基本證明以及早期證明的簡化仍在繼續進行。

Filippov（1950）和Tverberg（1980）提出了基本證據。

使用Narens（1971）的非標準分析的證明。

Gordon O. Berg，W. Julian和R. Mines等人使用建構性數學的證據。 （1975年）。

使用昭和（1984）Brouwer定點定理的證明。

Thomassen（1992）給出了使用完整二分圖K3,3的非平面性的證明。

若爾當曲線定理的第一個正式證明是由Hales（2007a）於2005年1月在HOL Light系統中創建的，幷包含約6萬行。 2005年由國際數學家團隊使用Mizar系統製作了另外嚴格的6,500線的正式證明。 Mizar和HOL Lightproof都依賴於以前證明的定理的庫，所以這兩種尺寸都不可比。坂本松本和橫田洋田（2007）顯示，若爾當曲線定理在證明理論強度方面與弱科德格引理相當。 ^[7]