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柯西積分定理
鎖定
柯西積分定理（或稱柯西－古薩定理），是一個關於複平面上全純函數的路徑積分的重要定理。柯西積分定理説明，如果從一點到另一點有兩個不同的路徑，而函數在兩個路徑之間處處是全純的，則函數的兩個路徑積分是相等的。另一個等價的説法是，單連通閉合區域上的全純函數沿着任何可求長閉合曲線的積分是0。
- 中文名
- 柯西積分定理
- 外文名
- Cauchy integral theorem
- 別 名
- 柯西－古薩定理
- 提出者
- 柯西
- 適用領域
- 高等數學
- 應用學科
- 數學
柯西積分定理定理
柯西積分定理單連通條件
柯西積分定理等價敍述
柯西積分定理推廣
除了對分段可求長的簡單閉合曲線成立以外，柯西積分定理對於某些更復雜的曲線也適用。設
是複平面的一個開子集。
是定義在
上的全純函數。無論
內的曲線
是自交還是卷繞數多於1（圍着某一點轉了不止一圈），只要
能夠通過連續形變收縮為
內的一點，就有：
柯西積分定理證明
以下的證明對函數有較為嚴格的要求，但對物理學中的應用來説已經足夠。設
是複平面
的一個開子集。
是定義在
上的全純函數，
是
內的可求長的簡單閉合曲線。假設f的一階偏導數也在
上連續，那麼可以根據格林公式作出證明。具體如下：
[1]
為了便於表達，將函數f寫為實部函數和虛部函數：
由於
，積分
柯西積分定理推論
該定理的一個直接推論，是在單連通域內全純函數的路徑積分可以用類似於微積分基本定理的方法來計算：設
是複平面的一個開子集。
是一個
上的全純函數。函數f在
內的路徑積分，只與積分的起點和終點有關，與中間經歷的路徑無關。假設，起點為a，則可以定義一個函數
柯西積分定理參見
- 柯西－黎曼方程
