格林公式

設D為平面區域，如果D內任一閉曲線所圍的部分區域都屬於D，則D稱為平面單連通區域。直觀地説，單連通區域是沒有空間的區域，否則稱為復連通區域。

當xOy平面上的曲線起點與終點重合時，則稱曲線為閉曲線。設平面的閉曲線L圍成平面區域D，並規定當一個人沿閉曲線L環行時，區域D總是位於此人的左側，稱此人行走方向為曲線L關於區域D的正方向，反之為負方向。 ^[2] 

設閉區域

由分段光滑的曲線

圍成，函數

及

在

上具有一階連續偏導數，則有

（1）

其中

是

的取正向的邊界曲線。

公式⑴叫做格林（green）公式。 ^[1] 

先證

假定區域

的形狀如下（用平行於

軸的直線穿過區域，與區域邊界曲線的交點至多兩點）

易見，圖1(二)所表示的區域是圖1（一）所表示的區域的一種特殊情況，我們僅對圖1（一）所表示的區域

給予證明即可.

另一方面，據對座標的曲線積分性質與計算法有

因此

假設將AB曲線上移，或EC曲線下移，使AE重合或者BC重合，便可以認為是一條常規的曲線。也可以認為某條常規曲線是將AE或BC長度設為零形成的。再假定穿過區域D內部且平行於

軸的直線與D的邊界曲線的交點至多是兩點，用類似的方法可證

將兩式合併之後即得格林公式

在平面閉區域D上的二重積分，可通過沿閉區域D的邊界曲線L上的曲線積分來表達；或者説，封閉路徑的曲線積分可以用二重積分來計算。如區域D不滿足以上條件，即穿過區域內部且平行於座標軸的直線與邊界曲線的交點超過兩點時，可在區域內引進一條或幾條輔助曲線把它分劃成幾個部分區域，使得每個部分區域適合上述條件，仍可證明格林公式成立. ^[1] 

注意：對於復連通區域D，格林公式的右端應包括沿區域D的全部邊界的曲線積分，且邊界方向對區域D來説都是正向。

格林公式溝通了二重積分與對座標的曲線積分之間的聯繫，因此其應用十分地廣泛.