微分代數

代數是數學的一個分支。傳統的代數用有字符 (變量) 的表達式進行算術運算，字符代表未知數或未定數。如果不包括除法 (用整數除除外)，則每一個表達式都是一個含有理係數的多項式。例如： 1/2 xy+1/4z-3x+2/3. 一個代數方程式 (參見EQUATION)是通過使多項式等於零來表示對變量所加的條件。如果只有一個變量，那麼滿足這一方程式的將是一定數量的實數或複數——它的根。一個代數數是某一方程式的根。代數數的理論——伽羅瓦理論是數學中最令人滿意的分支之一。建立這個理論的伽羅瓦(Evariste Galois，1811-32)在21歲時死於決鬥中。他證明了不可能有解五次方程的代數公式。用他的方法也證明了用直尺和圓規不能解決某些著名的幾何問題(立方加倍，三等分一個角)。多於一個變量的代數方程理論屬於代數幾何學，抽象代數學處理廣義的數學結構，它們與算術運算有類似之處。參見，如：布爾代數(BOOLEAN ALGEBRA);羣 (GRO-UPS);矩陣(MATRICES);四元數(QUA-TERNIONS );向量(VECTORS)。這些結構以公理 (見公理法 AXIOMATICMETHOD) 為特徵。特別重要的是結合律和交換律。代數方法使問題的求解簡化為符號表達式的操作，已滲入數學的各分支。 ^[2] 

設K為一交換體. 把K上的向量空間E叫做K上的代數，或叫K-代數，如果賦以從E×E到E中的雙線性映射.換言之，賦以集合E由如下三個給定的法則所定義的代數結構：

——記為加法的合成法則(x，y)↦x+y;

——記為乘法的第二個合成法則(x，y)↦xy;

——記為乘法的從K×E到E中的映射(α，x)↦αx，這是一個作用法則;

這三個法則滿足下列條件：

a) 賦以第一個和第三個法則，E則為K上的一個向量空間;

b) 對E的元素的任意三元組(x，y，z)，有

x(y+z)=xy+xz(y+z)x=yx+zx;

c)對K的任一元素偶(α，β)及對E的任一元素偶(x，y)，有(αx)(βy)=(αβ) (xy).

設A為一非空集合. 賦予從A到K中的全體映射之集ℱ(A，K)以如下三個法則：

則ℱ(A， K)是K上的代數， 自然地被稱為從A到K中的映射代數。當A=N時， 代數ℱ(A，K)叫做K的元素序列代數。

無論是在代數還是在分析中，代數結構都是最常見到的結構之一。十九世紀前半葉末，隨着哈密頓四元數理論的建立，非交換代數的研究已經開始. 在十九世紀下半葉，隨着M.S.李的工作，非結合代數出現了. 到二十世紀初，由於放棄實數體或複數體作為算子域的限制，代數得到了重大擴展。

與外代數，對稱代數，張量代數，克利福德代數等一起，代數結構在多重線性代數中也建立了起來。

導子是數域的一個參數。阿貝爾數域K的導子是一個最小的正整數m，使得K含於m次分圓域Q(ζ_m)中。更一般地，阿貝爾擴張K/k的導子是k的一個最小的模m(即k的一種除子)，使得K含於k的m射線類域中。狄利克雷(Dirichlet，P.G.L.)稱特徵χ(即對於某個正整數m定義的乘法同態(Z/mZ)→C)的導子是一個最小的使χ可定義的正整數m。 ^[3] 

導子是從數學分析中移植於代數系統，用於討論一般可分擴張的一種運算。設L是K的擴域，映射D：K→L，若滿足：

則稱D是K的一個L值導子。在L=K時，或不需要特別強調某個L時，可以徑稱導子。若K/F是域擴張，K的求導D在F上的限制D′=D|_F是F的求導，則稱D是D′在K上的拓展。對特徵p≠0的域F，K/F成為可分擴張，當且僅當F的每個導子都能拓展為K的導子。

微分環是帶導子集的環。若環R有一個導子集合Δ，則Δ稱為R的微分系，R稱為有微分系Δ的環，或簡稱微分環或Δ環.設S是有微分系Δ的環R的子環，若S也是有微分系Δ的環，則S稱為R的微分子環，或Δ子環，而R稱為S的微分擴環。R至少有兩個Δ子環{0}和R，稱為R的平凡微分子環。其餘的微分子環稱為非平凡微分子環，或真微分子環。有微分系Δ的環R的子環S是Δ子環的充分必要條件是：a∈S，δ∈Δ，有δa∈S.Δ={δ}時，Δ環及Δ子環分別記為δ環，δ子環。

一個微分環 R 是裝備一個或多個導子的環

使得每個導子滿足萊布尼茲乘積法則：

，對任何

成立。 ^[1] 

注意環可以是非交換的，從而交換環情形下的乘積法則 d(xy) = xdy + ydx 形式未必成立。

一個微分域是裝備一個導子的域K。如上所示，導子在域K上亦滿足萊布尼茲乘積法則，即對域K中任何兩個元素 u 與 v 有

。這和上述形式不同，因為域上的乘法是可交換的。

而且，導子在域K的加法下是一同態

如果 K 是一個微分域，那麼我們定義常數域為

。

一個域 K 上的微分代數是一個 K-代數 A，其中導子與域K是可交換的。也就是説，對所有

與

有

。

同上導子對代數乘法必須服從萊布尼茲法則，以及對加法保持線性。從而，對所有

與

有

以及

微分代數方法是利用微分代數為數學工具來研究控制系統的一種方法。它的主要思想如下：設K是給定的一個微分域，有限生成的微分域擴張K〈y，u〉/K，如果還滿足：

即微分域擴張K〈y，u〉/K〈u〉是微分代數的，則稱其為一個輸入為u、輸出為y的非線性控制系統.設(x₁，x₂，…，x_n)=x為域擴張K〈y，u〉/K〈u〉的超越基，那麼，非線性控制系統K〈y，u〉/K具有如下廣義狀態方程描述(實現)：

微分代數方程所定義的非線性系統較通常的狀態空間方程描述的系統要廣泛，研究內容也要豐富。微分代數方法主要是由法國控制數學家弗里斯(Fliess，M.)發展起來的.這個方法尚在發展之中。 ^[4]