測地線

設M為光滑流形，γ:[a,b]→M為光滑曲線，γ稱為測地線，若滿足

。 ^[6] 

設

是一個帶有黎曼聯絡的黎曼流形。若一條參數化的曲線

在

處有

,則稱曲線在點

處測地。如果對於

每一點都測地，則稱該曲線為測地線。 ^[5] 

類似地球這樣的物體並非由於稱為引力的力使之沿着彎曲軌道運動，而是它沿着彎曲空間中最接近於直線的稱之為測地線的軌跡運動。例如，地球的表面是一彎曲的二維空間。地球上的測地線稱為大圓，是兩點之間最近的路徑。由於測地線是兩個機場之間的最短程，這正是領航員叫飛行員飛行的航線。在廣義相對論中，物體總是沿着四維時空的測地線走。儘管如此，在我們的三維空間看起來它是沿着彎曲的途徑（這正如同看一架在非常多山的地面上空飛行的飛機。雖然它沿着三維空間的直線飛，在二維的地面上它的影子卻是沿着一條彎曲的路徑）。 ^[1] 

如果兩曲面沿一曲線相切，並且此曲線是其中一個曲面的測地線，那麼它也是另一個曲面 的測地線。 過曲面上任一點，給定一個曲面的切方向，則存在唯一一條測地線切於此方向。 在適當的小範圍內聯結任意兩點的測地線是最短線，所以測地線又稱為短程線。 ^[2] 

光線經過一個大質量天體附近時，受其引力作用（或者説進入了該天體附近的彎曲空間）， 路線會發生偏轉，稱為“測地線效應”。 ^[3] 

距離最短的曲線在相對論中的專業術語是測地線，事實上，相應於速度小於C，等於C，大於C的三種測地線分別稱為類時測地線，類光測地線和類空測地線。所以，如果不受到引力以外其他力的作用，物體將在類時或類光測地線上運動（因為沒有物體的速度能超過光速）

例如，地球這樣的物體並非收到稱作引力的力的作用而沿着彎曲軌道運動；相反，他們之所以沿着彎曲軌道運動，是因為在彎曲空間中，他們遵循着一條最接近直線的路徑運動，這個路徑稱作測地線。用專業術語來説，測地線的定義就是相鄰兩點之間最短（或最長） 的路徑。

也稱作測地線進動（Geodetic Effect或Geodetic Precession）是指在廣義相對論預言下引力場的時空曲率對處於其中的具有自旋角動量的測試質量的運動狀態所產生的影響，這種影響造成了測試質量的自旋角動量在引力場內沿測地線的進動。這種效應在今天成為了廣義相對論的一種實驗驗證方法，並且已經由美國國家航空航天局於2004年發射的科學探測衞星“引力探測器B”在觀測中證實。

由於廣義相對論本身是一種幾何理論，所有的引力效應都可以用時空曲率來解釋，測地線效應也不例外。不過，這裏自旋角動量的進動也可以部分地從廣義相對論的替代理論之一——引力磁性來理解。 ^[4] 

從引力磁性的觀點來看，測地線效應首先來源於軌道-自旋耦合作用。在引力探測器B的觀測中，這是引力探測器B中的陀螺儀的自旋和位於軌道中心的地球的質量流的相互作用。本質上這完全可以和電磁理論中的托馬斯進動做類比。這種相互作用所導致的進動在全部的測地線進動中起到三分之一的貢獻。

另外的三分之二貢獻不能用引力磁性來解釋，只能認為來自於時空曲率。簡單來説，平直時空中沿軌道運動的自旋角動量方向會隨着引力場造成的時空彎曲而傾斜。這一點其實並不難於理解：垂直於一個平面的矢量在平面發生彎曲後定然會改變方向。根據推算，引力探測器B的繞地軌道周長由於地球引力場的影響會比不考慮引力場時的周長縮短1.1英寸（約合2.8釐米），這個例子在引力探測器B的研究中經常被稱作“丟失的一英寸”。在引力探測器B的位於642千米高空的極軌道上，廣義相對論的理論預言由於自旋-軌道耦合和時空曲率而產生的軌道平面上的測地線效應總和為每年進動6.606角秒（約合0.0018度）。這對於弱引力場中相對論效應來説已經是一個相當顯著的影響了（作為同為引力探測器B的觀測任務之一的地球引力場的參考系拖拽要比測地線效應弱170倍）。引力探測器B的觀測結果首先在2007年4月舉行的美國物理學會四月年會上進行了快報，其觀測結果與理論誤差小於1%。