相對論

狹義相對論與廣義相對論的描述的對象不同。傳統上，在愛因斯坦提出相對論的初期，人們以所討論的問題是否涉及非慣性參考系來作為狹義與廣義相對論分類的標誌。隨着相對論理論的發展，這種分類方法越來越顯出其缺點——參考系是跟觀察者有關的，以這樣一個相對的物理對象來劃分物理理論，被認為不能反映問題的本質。一般認為，狹義與廣義相對論的區別在於所討論的問題是否涉及引力（彎曲時空），即狹義相對論只涉及那些沒有引力作用或者引力作用可以忽略的問題，而廣義相對論則是討論有引力作用時的物理學。用相對論的語言來説，就是狹義相對論的背景時空是平直的，即四維平凡流形配以閔氏度規，其曲率張量為零，又稱閔氏時空；而廣義相對論的背景時空則是彎曲的，其曲率張量不為零。 ^[2] 

狹義相對論與廣義相對論的起源不同。如果説二十世紀初狹義相對論的出現是由於經典物理固有的矛盾、大量的新實驗以及廣泛的關注而呼之欲出的，那麼廣義相對論的提出則在某種意義下是“理論走在了實驗前面”的一次實踐，在很大程度上是由於相對論理論自身發展的需要，而並非是來自於一些亟待解釋的實驗現象，這在物理學的發展史上是並不多見的 ^[1]  。在此意義上，廣義相對論又被稱為純粹理性思維的巔峯之作。 ^[3] 

主條目：狹義相對論（英文：Special relativity）。狹義相對論只侷限於討論慣性系中的物理現象。愛因斯坦在他1905年的論文《論動體的電動力學》 ^[4]  中介紹了其狹義相對論。

狹義相對論的主要內容有 ^[1]  ：

（1）慣性參考系之間的時空座標的洛倫茲變換及其物理意義，集中展現相對論的時空觀。

（2）物理規律在任意慣性系中可表述為相同形式，即物理規律的協變性。協變性要求是對各種場和粒子間相互作用規律探索的主要理論指導之一。

（3）把電動力學的基本規律，即麥克斯韋方程組和洛倫茲力公式表達為協變形式，從而使電動力學成為明顯相對論性的理論，可用來解決任意速度帶電粒子與電磁場的相互作用問題。

（4）把力學基本規律推廣為協變性的相對論力學，由此得到相對論的質量、能量和動量的關係。這些關係是原子能應用的主要理論基礎，是解決高能粒子運動轉化過程運動學問題的主要工具。

（1）狹義相對性原理（狹義協變性原理）：所有的慣性參考系都是等價的，即物理規律的形式在任何的慣性參考系中都是相同的。也就是説不論通過觀測力學現象、電磁現象，還是其他現象，只要觀察者處在慣性系中，所看到的規律都是相同的，無法察覺出所處參考系的任何“絕對運動”。相對性原理已經被大量實驗事實所精確檢驗過，是一條物理學的基本原理。 ^[1] 

（2）光速不變原理：真空中的光速在任何慣性系沿任一方向恆為c，並與光源運動無關。 ^[1]  也正是由於光有這樣的實驗性質，在國際單位制中使用了“光在真空中1/299,792,458秒內所走過的距離”來定義長度單位“米”。光速不變原理是宇宙時空對稱性的體現。

物理規律需要在一定的參考系表述出來。在狹義相對論提出以前，人們認為時間和空間是各自獨立的絕對的存在。自伽利略時代以來這種絕對時空的觀念就開始建立，牛頓創立的經典力學和運動定律就是在絕對時空觀的基礎上創立。在低速情況下這種觀點與實驗觀測符合的很好，但是在高速情況下絕對時空觀與客觀實際的矛盾就會顯現。

十九世紀中後期，人們從長期的實踐中總結出電磁場的基本規律，即麥克斯韋方程組，並由此得出電磁波在真空中傳播的速度為c。以絕對時空觀的概念出發，電磁波只能在一個特殊參考系中的傳播速度為c，所以麥克斯韋方程組只能對該特殊參考系成立。如果是這樣的話，那麼經典力學中一切慣性參考系的相對性原理在電磁現象中就不再成立。由此，把相對於該特殊參考系的運動稱為絕對運動。由於當時人類認識的所有波動比如水波、聲波都是在某個介質中機械振動的傳播現象，人們認為電磁波也在某種充滿空間的彈性介質中傳播，這種介質被稱為以太。人們把相對以太靜止的參考系作為這個特殊參考系。尋找以太，以及確定地球相對於以太的運動，成為十九世紀末物理學的一個重要課題。當時的科學實驗已經可以精確測量光速，多次實驗的結果都沒有發現任何絕對運動的效應，這迫使人們接受在真空中光速相對於任何慣性系都等於c的事實。這與舊的伽利略時空觀發生了矛盾 ^[1]  。同時以太也成為了1900年開爾文勳爵口中的物理學大廈頭頂的“兩朵烏雲”之一。

除了電磁現象以外，十九世紀末人類的實踐活動已經開始深入到物質的微觀領域，發現了電子、X射線衍射和天然放射性，人們發現的許多新的現象和規律，使經典物理學的許多基本概念都發生動搖。這個時期物理學面臨着巨大變革，反映新時空觀念的相對論也正是在這個背景下提出來的。所以，相對論是生產水平和科學技術發展到一定階段的必然產物 ^[1]  。

在愛因斯坦以前，人們廣泛關注於麥克斯韋方程組在伽利略變換下不協變的問題，也有人（如龐加萊和洛倫茲）注意到愛因斯坦提出狹義相對論所基於的實驗（如邁克爾孫-莫雷干涉儀實驗等），也有人推導出過與愛因斯坦類似的數學表達式（如洛倫茲變換），但只有愛因斯坦將這些因素與經典物理的時空觀結合起來提出了狹義相對論，並極大的改變了我們的時空觀。在這一點上，狹義相對論是革命性的。 ^[3] 

狹義相對論從物質運動中抽象出事件的概念。事件在某一地點某一時刻發生。物質運動可以看作一連串事件的發展過程。所以用四個座標（x，y，z，t）來代表慣性系S中的一個事件。用另一組座標（x’，y’，z’，t’）代表另一個慣性系S’中的一個事件。由此可以定義一個叫做間隔的物理量，即四維座標系中兩個四維座標的距離。兩個慣性系中的兩事件的間隔相同，這就是間隔不變性，間隔是相對論時空觀的一個基本概念，把時間與空間的距離統一起來。

相對論的時空座標變換關係稱為洛倫茲變換。設慣性系S’相對於慣性系S的速度為v，S’系相對於S系的運動方向為x方向，則S系的時空座標變換到S’系可以表達為：

由此得到，從S系的變換到S’系的速度洛倫茲變換式為：

相對論的時空觀產生了光錐的概念，在此基礎上可以討論事件的因果關係。兩事件的間隔等於零的事件點在四維座標系中組成一個錐面，被稱為光錐。這些間隔被稱為類光間隔。

如果兩事件可以用低於光速的相互作用相聯繫，則間隔的平方大於0，這些事件點在四維座標系中位於光錐之內。這些間隔被稱為類時間隔，在光錐內的事件之間存在絕對的因果關係。比如通過無線電波聯繫，一定是發報者影響收報者的行動。

若兩事件的空間距離超過光波在時間t內傳播的距離，則間隔的平方小於0，這些事件點在四維座標系中位於光錐之外，被稱為類空間隔。在光錐外的事件之間不可能通過任何方式聯繫，它們之間沒有任何因果關係。類空間隔會導致同時的相對性，也就是説在一個參考系中的不同地點上對準了的時鐘，在另一個參考系上觀察發現鍾是對不準的。

狹義相對論還導致了鐘慢效應，即在一個參考系S內部同一地點相繼發生兩個事件，在另一個相對於參考系S以速度v運動的運動參考系S’中觀察這兩個事件。在靜止參考系S中兩事件的間隔為就是時間差：

，被稱為固有時。在運動參考系S’中就會觀察到兩個事件發生在不同地點，也會觀察到一個時間差

。可以得到：

，所以

，即實驗室參考系中運動物體上發生的自然過程比起靜止物體的同樣過程變慢了。物體運動的速度越大，所觀察到的它的內部過程進行地越緩慢。

還有尺縮效應，設物體的靜止長度是

，則以速度v平行於此方向運動的物體的長度為

，所以運動物體的長度縮短了。鐘慢效應和運動尺縮效應是時空的基本屬性，與物體和鍾內部結構無關。

洛倫茲變換形式上可以看作在四維座標系中的轉動。這個四維空間包括三維空間座標軸x，y，z，和第四個虛數座標：ict。所以相對論的四維空間是一個復四維空間。洛倫茲變換的四維形式為：

其中沿x軸方向的特殊洛倫茲變換矩陣為：

四維速度為：

，四維速度的分量就是

: , 四維速度的變換關係就是:

對於電磁波來講，四維波矢量為：

矢量的洛倫茲變換為：

這些物理量又被稱為四維協變量，計算方法滿足愛因斯坦求和公式。用四維形式可以很方便地將相對性原理表示出來。如果一個方程的每一項都是同類協變量，在參考系變換下，每一項都按相同方式變換，結果保持方程不變。比如某方程的形式為：

, 其中

和

都是四維矢量，在參考系變換下則有：

電動力學的主要規律為麥克斯韋方程組，其滿足相對論要求的協變性原理。在相對論框架下，定義四維電流密度為:

，四維勢矢量：

，和電磁場構成的四維張量：

就可以得到麥克斯韋方程組的協變形式為：

，

，其中參考系之間的張量變換關係為：

。所以自然界的四大相互作用力中，電磁相互作用力完全能納入狹義相對論的範圍，非量子化的相對論性力學在一定條件下能夠正確描述帶電粒子的運動。

相對論力學修正了經典時空觀下的牛頓力學，在這個基礎上，靜止的物體具有靜止質量

，對應靜止能量

，這個關係被稱為質能關係式。物體的動量與能量構成四維矢量：

。運動物體的能量：

，運動物體的動量 ，運動物體的質量

,運動物體的質量

,可以得到一條關於物體能量、動量、質量的重要關係式：

。相對論最重要的推論之一就是揭示了靜止能量的存在。它指出靜止粒子內部仍在存在着運動，一定質量的粒子具有一定的內部運動能量。反過來，帶有一定內部運動能量的粒子就表現出一定的慣性質量。質能關係在原子核和粒子物理中被大量實驗很好地證實，是人類利用原子能的主要理論依據。 ^[1] 

邁克爾遜-莫雷（Michelson-Morley）在1887年測量了光速沿不同方向差異的實驗。他設計了一種干涉儀，被稱為邁克爾遜-莫雷干涉儀,用來檢驗以太的存在。結果是邁克爾遜的實驗否定了以太的存在，表明光速不依賴於觀察者所在的參考系，也不依賴於光源相對於觀察者的運動。

對雙星運動的觀測，雙星繞其質心運動，若光速依賴於光源速度的話，則雙星系統中向着地球運動的一顆星發出的光將比另一顆星傳播得更快，因而在地球上觀察到的雙星運動軌道將發生扭曲，實際並沒有觀察到這種情況，表明兩顆星發出的光傳播速度是一樣的。這也證明了光速不依賴於光源的運動 ^[1]  。

現代也有實驗持續驗證光速不變的基本事實。人們用高速運動的π₀介子作為光源。π₀介子是在高能質子間碰撞產生的一種不穩定粒子，它在運動過程中在0.87×10^-16秒內將會衰變成兩個光子。Alvager的實驗中，π₀介子以0.9975c的速度運動，實驗測定沿π₀介子運動方向放出的光子速度為（2.9977+-0.004）10⁸m/s,與用靜止光源測得的光速一致 ^[5]  。總之，到目前為止，所有實驗都指出光速不依賴於觀察者所在的參考系，也與光源的運動無關，是自然界的一條基本規律。。

此外，還有大量實驗驗證了相對論導出的各種效應。例如，橫向多普勒效應實驗，驗證了相對論運動的鐘慢效應 ^[6]  。高能物理中，高速運動粒子的壽命的測定，證實了鐘慢效應。比如觀察π介子運動過程中的平均壽命，和觀察到μ子高速運動下的平均壽命。實驗觀測的結果均與鐘慢效應的公式計算數值吻合 ^[7-8]  。攜帶原子鐘的環球飛行實驗，證實了狹義相對論和廣義相對論共同作用下的時鐘減慢的總效應 ^[9]  。

為了解決牛頓引力理論在實驗和理論上遇到的困難，1915年，愛因斯坦把他的引力理論建立在等效原理和廣義相對性原理的基礎上，並把這一理論看作是狹義相對論的推廣，因而稱它為廣義相對論，但是廣義相對論並不完全等價於引力理論。

廣義相對論既可以看做狹義相對論的發展，又可以看做萬有引力定律的發展。這是一個關於空間、時間和引力的理論。愛因斯坦提出等效原理，猜測萬有引力可能是一種幾何效應。他又把黎曼幾何引入自己的研究，並率先得到了廣義相對論的基本方程———愛因斯坦場方程。它指出萬有引力不同於一般的力，而是時空彎曲的表現，是一種幾何效應。廣義相對論的全部內容，可以概括為: “物質告訴時空如何彎曲，時空告訴物質如何運動。 ^[10] 

（1）等效原理：慣性力場與引力場的動力學效應是局部不可分辨的 ^[10]  。但是，在現有的廣義相對論的理論框架下，等效原理是可以由其他假設推出。具體來説，就是如果時空中有一觀者（G），則可在其世界線的一個領域內建立局域慣性參考系，而廣義相對性原理要求該系中的克氏符（Christoffel symbols）在觀者G的世界線上的值為零。因而現代的相對論學家經常認為其不應列入廣義相對論的基本假設，其中比較有代表性的如Synge就認為：等效原理在相對論創立的初期起到了與以往經典物理的橋樑的作用，它可以被稱之為“廣義相對論的接生婆”，而“在廣義相對論這個新生嬰兒誕生後把她體面地埋葬掉”。

（2）廣義相對性原理（廣義協變性原理）：一切參考系都是平權的，換言之，客觀真實的物理規律應該在任意座標變換下形式不變。用幾何語言描述即為，任何在物理規律中出現的時空量都應當為該時空的度規或者由其導出的物理量。廣義相對性原理指出一個正確的物理規律必須考慮引力場的影響，取消了慣性系的優越地位。 ^[10] 

（3）愛因斯坦場方程：它具體表達了時空中的物質（能動張量）對時空幾何（曲率張量的函數）的影響，其中對應能動張量的要求（其梯度為零）則包含了物質的運動方程的內容。

在本質上，所有的物理學問題都涉及採用哪個時空觀的問題。在二十世紀以前的經典物理學裏，人們採用的是牛頓的絕對時空觀。而相對論的提出改變了這種時空觀，這就導致人們必須依相對論的要求對經典物理學的公式進行改寫，以使其具有相對論所要求的洛倫茲協變性而不是以往的伽利略協變性。在經典理論物理的三大領域中，電動力學本身就是洛倫茲協變的，無需改寫；統計力學有一定的特殊性，但這一特殊性並不帶來很多急需解決的原則上的困難；而經典力學中的大部分都可以成功的改寫為相對論形式，以使其可以用來更好的描述高速運動下的物體，但是唯獨牛頓的引力理論無法在狹義相對論的框架體系下改寫，這直接導致愛因斯坦擴展其狹義相對論，而得到了廣義相對論。

愛因斯坦在1915年在普魯士科學院報告了“基於廣義相對論對水星近日點運動的解釋”，隨後在1916年第七期的物理年鑑上正式發表了“廣義相對論基礎”一文，給出了廣義相對論最初的形式[3]。他首先注意到了被稱之為（弱）等效原理的實驗事實：引力質量與慣性質量是相等的。這一事實也可以理解為，當除了引力之外不受其他力時，所有質量足夠小（即其本身的質量對引力場的影響可以忽略）的測驗物體在同一引力場中以同樣的方式運動。既然如此，則不妨認為引力其實並不是一種“力”，而是一種時空效應，即物體的質量（準確的説應當為非零的能動張量）能夠產生時空的彎曲，引力源對於測驗物體的引力正是這種時空彎曲所造成的一種幾何效應。這時，所有的測驗物體就在這個彎曲的時空中做慣性運動，其運動軌跡正是該彎曲時空的測地線，它們都遵守測地線方程。正是在這樣的思路下，愛因斯坦得到了其廣義相對論。值得一提的是，引力質量恆等於等於慣性質量在牛頓力學和狹義相對論中完全是一種巧合，並沒有重要意義。但是愛因斯坦卻從這幾百年司空見慣的事實中找到了新理論的線索 ^[10]  。

慣性質量 來自於牛頓定律通過對力和加速度的測量定義，反映了物體對加速度的抵抗。引力質量 來自於萬有引力定律通過對力和距離的測量，反應了物體產生與承受引力場的本領。

當空間無引力場時，四維時空是（偽）歐幾里得的，即空間是平直的，具有最大的對稱性。但是一旦有了引力場，時空對稱性將遭到破壞。

彎曲的空間就是非歐幾里得空間，按空間彎曲的曲率大於，等於或小於零，對應的幾何分別為黎曼幾何，歐幾里得幾何與羅巴切夫斯基幾何。非歐幾何中的直線為兩點間最短的距離，也叫短程線或測地線。在廣義相對論看來，引力場化為度規場，或者説引力消失了。所以測地線就是過兩點的自由粒子的運動軌跡或光跡。廣義相對論彎曲時空的測地線方程為 ^[3]  ：

加速情形的鐘慢效應：當一個時鐘繞閉合路徑作加速（減速）運動最後回到原地時，它所經歷的總時間小於在原地靜止時鐘所經歷的時間。所以在廣義相對論框架下，即使在同一座標系中也無法校準同步時間，一般無法建立同時性的概念。這導致了著名的雙生子佯謬效應。

引力場的場強可以表示為標量引力勢的梯度與矢量引力勢的時間變化率之和，也就是引力場的勢分為標勢與矢勢兩部分。引力場場強的表達式為 ^[10]  ：

,其中

為標量勢，

為引力勢。

引力場中的光速也是均勻的，恆等於c。

引力場本身的運動規律由引力場方程決定。引力場方程將確定引力場特性的度規張量

，與確定物質的分佈和運動的能量-動量張量聯繫起來。在弱引力場近似下，應該變成牛頓引力場的泊松方程：

，同時引力場應是廣義協變的，所以引力場是一個二階張量場方程。愛因斯坦引力場方程的形式是：

。1917年，愛因斯坦又提出了包括宇宙因子項的最普遍形式：

^[3] 

愛因斯坦在慣性力的基礎上提出了馬赫原理：加速度是相對的，一切物體的慣性效應來自於宇宙空間物質作相對加速運動時的引力作用。但是，在實驗精度範圍內，不能確定馬赫原理的正確性。從理論上又與廣義相對論存在一定的矛盾，所以其真實性是值的懷疑的。但是愛因斯坦創立廣義相對論受到了馬赫思想的啓發，所以馬赫原理在歷史上也具有重要的地位。 ^[10] 

驗證廣義相對論的經典實驗有：譜線的引力紅移，水星近日點的進動，光線的引力偏折，雷達回波的延遲[10]。

在2016年，LIGO科學合作組織和Virgo合作團隊利用先進LIGO探測器，首次探測到了來自於雙黑洞併合的引力波信號，驗證了廣義相對論最重要的推論 ^[11]  。

在μ子壽命的實驗中，在微觀領域證實了雙生子佯謬效應 ^[1]  。

相對論主要在兩個方面有應用：一是高速運動（與光速可比擬的高速），一是強引力場。

狹義相對論相對論效應可以解釋高能物理中宇宙射線的現象。例如宇宙射線中含有許多能量極高的μ子，這些μ子在大氣層上產生。但是靜止μ子的壽命只有2.197×10^-6s，如果沒有相對論效應，這些μ子只能以接近光速飛行660米，無法穿越大氣層。實際上很大部分μ子可以穿越大氣層到達地面。對於地面觀察μ子的人們來説，由於鐘慢效應，它的壽命延長了，而對於μ子來説，由於尺縮效應，它觀察到的大氣層長度變短了。所以在μ子的壽命內可以飛越大氣層。

在醫院的放射治療部，多數設有一台粒子加速器，產生高能粒子來製造同位素，作治療或造影之用。氟代脱氧葡萄糖的合成便是一個經典例子。由於粒子運動的速度相當接近光速（0.9c—0.9999c），故粒子加速器的設計和使用必須考慮相對論效應。

全球衞星定位系統的衞星上的原子鐘，對精確定位非常重要。這些時鐘同時受狹義相對論因高速運動而導致的時間變慢（-7.2 μs/日），和廣義相對論因較（地面物件）承受着較弱的重力場而導致時間變快效應（+45.9 μs/日）影響。相對論的淨效應是那些衞星的時鐘較地面的時鐘運行得更快。故此，這些衞星的軟件需要計算和抵消一切的相對論效應，確保定位準確。全球衞星定位系統的算法本身便是基於光速不變原理的，若光速不變原理不成立，則全球衞星定位系統則需要更換為不同的算法方能精確定位。

過渡金屬如鉑的內層電子，運行速度極快，相對論效應不可忽略。在設計或研究新型的催化劑時，便需要考慮相對論對電子軌態能級的影響。同理，相對論亦可解釋鉛的6s惰性電子對效應。這個效應可以解釋為何某些化學電池有着較高的能量密度，為設計更輕巧的電池提供理論根據。相對論也可以解釋為何水銀在常温下是液體，而其他金屬卻不是。

在當代，在對於引力波的觀測和對於一些高密度天體的研究中，廣義相對論都是其理論基礎之一。而另一方面，廣義相對論的提出也為人們重新認識一些如宇宙學、時間旅行等古老的問題提供了新的工具和視角 ^[1]  。此外，由廣義相對論推導出來的引力透鏡效應，讓天文學家可以觀察到黑洞和不發射電磁波的暗物質，和估計質量在宇宙中的分佈狀況。

值得一提的是，原子彈的出現和著名的質能關係式（E=mc²）關係不大，而愛因斯坦本人也肯定了這一點。質能關係式只是解釋原子彈威力的數學工具而已，對製作原子彈意義不大 ^[12]  。

相對論也直接和間接地催生了量子力學的誕生，為研究微觀世界的高速運動確立了全新的數學模型。量子力學在建立以後，薛定諤、克萊因、戈登等人先後引入狹義相對論，建立了相對論性的量子力學，發現了Klein-Gordon方程。隨後狄拉克建立了狄拉克方程，並由此確定了自旋這個基本物理量的存在。相對論性的量子力學促進了量子場論的建立，量子場論是現代物理研究基本粒子的基礎。

1917年愛因斯坦首先將廣義相對論用於模型化宇宙的大尺度結構研究，引導了引力論與現代宇宙學的發展。廣義相對論為人類認識宇宙圖景帶來了革命。廣義相對論也為理論物理學帶來了獨特的研究模式，也就是憑藉哲學與數學支撐的理性思維去洞察自然的奧秘。

廣義相對論促進了幾何學的大發展，並催生了統一理論的發展。強-電磁-弱三種相互作用的統一為物理學打開了更加廣闊的視野。

愛因斯坦在構建相對論的過程中使對稱性原則深入人心，使之成為指導和塑造理論物理的決定性概念或原則。對稱性原則加上對稱性破缺也是當今凝聚態物理研究的範式。 ^[3]