單值

黎曼為了處理多值函數，諸如 z= √w(平方根函數) 等， 他需要構造一個所謂的“單值性”定義域， 使得原始的多值函數在該定義域上能夠變成真正的單值函數。 這種定義域就是所謂的黎曼曲面。從多值複變函數的角度看， 當自變量 w 圍繞複平面 上某些特殊點繞一圈後， 因變量 z 將從值域的某個單葉分支進入另一單葉分支--通常不會回到初始點上。這種特殊點叫做支點。 我們也可以把z的這一變化(當w繞支點一圈)叫做單值。

單值的概念被用到纖維化理論中， 是代數幾何的重要內容之一。 它反映了奇異纖維附近的拓撲結構。

我們這裏以曲面纖維化 為例來解釋它。

設 f:X→C 是代數曲面 X 到代數曲線 C 的全純映射， p∈C 的原像F_p=f^{-1}(p)是奇異纖維。 假設q是充分接近p的一點, γ 是從q出發繞p一週回到q的小環路。 當一個點沿着γ走一圈後， q對應的纖維F_q上的每個點的位置都會發生變化。 嚴格地講, γ誘導了F_q到自身的一個同胚映射η: F_q→F_q. 這個映射就叫做h環路γ誘導的拓撲單值.

1991年， Y. Matsumoto 和J. M. Montesinos-Amilibia 給出了纖維芽拓撲單值映射和負定型偽週期映射的共軛類之間的一一對應。

從拓撲單值出發，人們可以誘導奇異纖維的第一同調羣H_1(F_q, Z)到自身的同構， 它成為Picard-Lefschetz 單值。 它可以用2g階的辛矩陣表示。

一個經典的例子是關於橢圓曲線 T_s: y^2=(x^2-s)(x-1). 當s圍繞s=0繞一圈後，T_s發生了一個Dehn 扭轉。 小平邦彥 給出了關於奇異橢圓纖維的全部單值分類。