代數曲面

代數曲面的歷史開始於兩個變量代數函數論的研究，由於可以把單變量代數函數理論作為Riemann面上的有理函數理論來處理，從而發展成了完美的理論體系；同樣，為了研究由三個復變量的不可約多項式

所定義的兩個變量代數函數的實質，而把它作為代數曲面上的有理函數來處理，就是必要的了。H.Poincaré，E.Picard等人很早就着眼於這一點，他們研究了代數曲面的拓撲結構，並以此為武器展開了代數曲面上的Abel積分(也稱為Picard積分)理論，這一傳統後來由S.Lefschetz進一步做了光輝的發展，另一方面，M.Noether和意大利學派的幾何學家F.Enriques，G.Castelnuovo和F.Severi等人則把主要力量放在作為簇的代數曲面的研究上，特別是意大利學派的人們早就注意到代數曲面的非正則數所具有的重要性，並深入研究了它的幾何性質，他們在二十世紀前半期，大體上完成了把代數曲面的理論統一成為一個巨大的理論體系的工作，雖然在他們所得到的深刻結果中還有一些未被嚴格證明，但是後來由於奠定了代數幾何的基礎和導入了現代的方法，代數曲面的理論也就完整而嚴密了，在這個現代化過程中，最有貢獻的是O.Zariski和小平邦彥。

尋求與給定的代數曲面雙有理等價的非奇異代數曲面的問題，是這個領域中最基本的問題之一。這個問題，在複數域上，有意大利學派的證明和R.J.Walker(Ann. of Math.，36(1935))的函數論的證明，而Zariski(Ann. ofMath.，40(1936))則在特徵為0的域上給出了基於賦值論的純代數的證明，進而，s.Abhyankar(1956)完成了關於特徵為p的情形的證明。今後，除非特別説明，總假定代數曲面是置於射影空間中的，而且沒有奇點。再者，記萬有域為K，F的函數域為K（F）。 ^[1] 

空間中建立一個直角座標系(或仿射座標系)後，如果一個曲面

的方程

的左端是

的多項式，那麼

稱為代數曲面，並且把多項式

的次數稱為代數曲面

的次數。次數為

的代數曲面簡稱為

次曲面。例如，橢球面、雙葉雙曲面、單葉雙曲面、二次錐面、橢圓拋物面、雙曲拋物面、橢圓柱面、雙曲柱面、拋物柱面等都是二次曲面。 ^[2] 

和平面代數曲線一樣，在笛卡爾座標系中，空間點

的座標，如能滿足關於

的n次代數方程式，稱P點的軌跡為n次代數曲面，記為

。

其中

。

如令

，則可化為n次齊次方程，P點的齊次座標為

，n次代數曲面的齊次方程為：

其中

為正整數或零，且

顯然，在射影變換下，n次齊次方程仍變換為n次齊次方程，所以代數曲面的次數是一個射影不變量。

例如，球面的笛卡爾座標方程為

其對應的齊次方程為

它在射影變換下，可以變換為橢球面，橢圓拋物面，雙葉雙曲面等，但仍是二次曲面。 ^[3] 

一個n次代數曲面

，一般需要給定

個條件才能完全確定。

例如，對二次曲面，n=2，則N=9。即確定一個二次曲面，一般需要9個條件，如在空間給定9個點等。對三次曲面，則n=3，N=19。即一般要給出19個條件(如給出空間19個點)才能確定一個三次曲面。 ^[3] 

(1)空間任一直線和曲面的交點個數，稱為曲面的階，在點座標系中，n次代數曲面的階為n，記作

。

(2)空間任一平面與n階曲面

的截交線為n階平面曲線

(圖1(a))。

(3)兩個m、n階代數曲面的交線為空間mn階曲線

(圖b)。

(4)空間一條m階曲線C^m與n階曲面的交點數為mn個(圖c)。

(5)三個I、m、n階代數曲面的公共點數為lmn個，如三曲面的公共點數大於lmn，則三曲面必有公共交線。過二次曲面上7個點的另一二次曲面，必過曲面上第8個定點。這個點稱為伴隨點。 ^[3]