華林問題

在三世紀時，數學家丟番圖首先提出“是否每一個正整數都是四個平方數之和”的問題。1730年，歐拉開始研究該問題，但未得出證明。 ^[1] 

第一個給出完整證明的是拉格朗日，他的證明用了歐拉的一個公式：

後來歐拉也給出另一證明。

1770年，華林發表了《代數沉思錄》（Meditationes Algebraicae），其中説，每一個正整數至多是9個立方數之和；至多是19個四次方之和。還猜想，每一個正整數都是可以表示成為至多r個k次冪之和，其中r依賴於k。 ^[1] 

1909年，大衞·希爾伯特首先用複雜的方法證明了g(k)的存在性。1943年，U.V.林尼克給出了關於g(k)存在性的另一個證明。然而，儘管g(k)的存在性已被證明，人們尚且無法知曉g(k)與k之間的關係。華林自己推測g(2)=4，g(3)=9，g(4)=19。

1770年，拉格朗日證明了四平方和定理，指出g(2)=4。1909年亞瑟·韋伊費列治證明了g(3)=9。

1859年，劉維爾證明了g(4)<=53，他的想法是藉助一個恆等式（Liouville polynomial identity）：

後來哈代和李特爾伍德得到g(4)<=21, 1986年巴拉蘇布拉瑪尼安證明了g(4)=19。1896年馬力特得到g(5)<=192；1909年韋伊費列治將結果改進為g(5)<=59；1964年陳景潤證明了g(5)=37。 ^[2] 

事實上，萊昂哈德·歐拉之子J.A.歐拉猜想：

（"[q]"表示"q"的整數部分）。至1990年，對於6<k<471600000此式已經被計算機驗證為正確。 ^[3] 

由於g(k)的值嚴重依賴於正整數較小時的情況，人們提出了一個更強的問題，求對於每個充分大的正整數，可使它們分解為k次方數的個數G(k)。此問題進展較慢，至今G(3)仍無法確定。

陳述：對於任何一個正整數n，是否存在一個數k，使得每個充分大的整數都可以表示為k個質數的n次冪的和？

此問題在1938年已被華羅庚證明成立。

任給一個正整數都是可以表為四個平方數之和。進一步，給定一個正整數，表示成為四個平方數的不同表示法有多少種？這問題已由雅可比給出瞭解答。

但是，對於立方和，四次方和等等的情況，仍然非常困難。

考慮用有理數的方冪和來表示正有理數。