格點問題

格點問題（problem on lattice point）又稱整點問題

格點問題起源於以下兩個問題的研究：

（1）狄利克雷除數問題，即求x＞1時D2（x）=區域{1≤u≤x，l≤v≤x，uv≤x}上的格點數。1849年，狄利克雷證明了D2（x）=xlnx+（2ν一1）x+△（x），這裏ν為歐拉常數，△（x）=O(x^1/2)，這一問題的目的是要求出使餘項估計△（x）=O（x）成立的又的下確界θ0。

（2）圓內格點問題：設x＞1，A2（x）=圓內μ +ν≤x上的格點數。高斯證明了A2（x）=πx+R（x），這裏R（x）=O（x^1/2），求使餘項估計R（x）=O（x）成立的λ的下確界α的問題，稱之為圓內格點問題或高斯圓問題。

1903年，Г．Ф．沃羅諾伊證明了θ≤1/3；1906年，謝爾品斯基證明了α≤1/3；20世紀30年代，J．G．科普特證明了α≤37/112，θ≤27/82；1934－1935年，E．C．蒂奇馬什證明了α≤15/46；1942年，華羅庚證明了α≤13/40；1963年陳景潤、尹文霖證明了α≤12/37；1950年遲宗陶證明了θ≤15/46，1953年H．裏歇證明了同樣的結果；1963年，尹文霖證明了θ≤12/37，1985年，Г．A．科列斯尼克證明了θ≤139/429；1985年，W．G．諾瓦克證明了α≤139/429。在下限方面，1916年，哈代已證明α≥1/4；1940年，A．E．英厄姆證明了θ≥1/4。人們還猜測θ=α=1/4，但至今未能證明。由此直接推廣出k維除數問題，球內格點問題以及k維橢球內的格點問題等。

格點問題所涉及到的知識點通常與抽屜原理和圖論知識結合在一起，一般來説與整數的奇偶性、整除性等聯繫十分緊密。

或稱整點問題，研究一些特殊區域甚至一般區域中的格點的個數。格點又稱整點，是指座標均為整數的點。格點問題是數論中的一類重要問題，起源於以下兩個著名問題的研究：①狄利克雷除數問題。設x＞1，D2(x)表區域1≤u≤x，1≤v≤x，uv≤x上的格點個數。1849年，P.G.L.狄利克雷證明了 D2(x)=xlnx+(2у-1)x+Δ(x)，這裏

,у是歐拉常數。這一問題的目的是要求出使餘項估計

成立的λ的下確界θ。因為

,其中d(n)是除數函數,所以把這一格點問題稱為狄利克雷除數問題。 ②圓內格點問題。 設x＞1,A2(x)表圓

上的格點數。C.F.高斯證明了A2(x)=πx+R(x),這裏

。

求使餘項估計算

成立的λ的下確界α的問題, 稱為圓內格點問題或高斯圓問題。顯有

,這裏r2(n)是

的全體整數解的個數。利用初等方法,1903年,Γ.Ф.沃羅諾伊證明了θ ≤1/3；1906年,W.謝爾平斯基證明了α≤1/3；利用較深的分析方法，1922～1937年，J.G.範·德·科普特首先證明了 α≤37/112,θ ≤27/82；1934～1935年，E.C.蒂奇馬什證明了α≤15/46；1942年，華羅庚證明了α≤13/40；1963年，陳景潤、尹文霖證明了α≤12/37；1950年遲宗陶和1953年H.-E.裏歇先後證明了θ ≤15/46，他們所用的方法都是閔嗣鶴提出的;1963年,尹文霖證明了θ≤12/37；1985年, Γ.Α. 科列斯尼克證明了θ≤139/429，1985年,W.G.諾瓦克證明了α≤139/429。另一方面,1916年G.H.哈代已證明α≥1/4；1940年，A.E.英厄姆已證明θ≥1/4。一些數學家還對餘項Δ(x)和R(x)的均值做了估計。猜測θ=α=1/4,但是至今未能證明。這兩個問題的直接推廣是k維除數問題、 球內格點問題以及k 維橢球內的格點問題等。對一般格點問題也有不少研究。關於這些問題中國數學家做了不少工作。直到2007年Sylvain E. Cappell and Julius L. Shaneson在著名的預印本網站arxiv發表論 文《some problems in number theory 1：the circle problem》，聲稱他們已解決這個問題。

關於一般平面區域的格點問題，M.V.賈爾尼科推廣高斯的方法後於1924年證明了:設Г是可求長的約當閉曲線，其長為l，其所圍面積為A；N是Г內及其上的格點數，則有│N-A│＜l。

·平面上任何4n-3個整點中必可取出n個整點使其重心仍為整點?

·1983年Kemnitz猜想，用初等方法是無法解決這一困難猜想的。

·2000年有人使用代數方法成功地證明4n-3換成4n-2時猜想正確。

·2003年德國Reiher(bornApril 19, 1984)出人意料地將代數方法與組合方法巧妙地結合起來，攻下有20年之久的Kemnitz猜想