納維-斯托克斯方程

納維-斯托克斯方程（Navier-Stokes equation）是描述粘性不可壓縮流體動量守恆的運動方程，簡稱N-S方程。此方程是法國科學家C·L·M·H·納維於1821年和英國物理學家G·G·斯托克斯於1845年分別建立的，故名。它的矢量形式為：

需要説明的是上式中的導數DV/Dt是指物質導數。對任意物理量A(表量或張量)的物質導數，其定義為：

因此N-S方程展開來寫為

在直角座標中，N-S方程的分量形式由下式給出：

式中，

是流體密度；

是速度矢量，

是流體在

時刻，在點

處的速度分量；

是壓力；

是單位體積流體受的外力，若只考慮重力，則

；常數

是動力粘度。

N-S方程概括了粘性不可壓縮流體流動的普遍規律，因而在流體力學中具有特殊意義。

粘性可壓縮流體運動方程的普遍形式為：

其中

為流體應力張量；

為單位張量；

為變形速率張量，其在直角座標中的分量為：

為膨脹粘性係數，一般情況下

。若遊動流體是均質和不可壓縮的，這時為常數。

則方程（3）可簡化成N-S方程（1）和（2）。如果再忽略流體粘性，則（1）就變成通常的歐拉方程形式：

即無粘性流體運動方程（見流體力學基本方程組）。

後人在此基礎上又導出適用於可壓縮流體的N-S方程。以應力表示的運動方程，需補充方程才能求解。N-S方程反映了粘性流體（又稱真實流體）流動的基本力學規律，在流體力學中有十分重要的意義。它是一個非線性偏微分方程，求解非常困難和複雜，在求解思路或技術沒有進一步發展和突破前只有在某些十分簡單的特例流動問題上才能求得其精確解；但在部分情況下，可以簡化方程而得到近似解。例如當雷諾數

時，繞流物體邊界層外 ，粘性力遠小於慣性力 ，方程中粘性項可以忽略，N-S方程簡化為理想流動中的歐拉方程；而在邊界層內，N-S方程又可簡化為邊界層方程，等等。在計算機問世和迅速發展以來，N-S方程的數值求解才有了較大的發展。

從理論上講，有了包括N-S方程在內的基本方程組，再加上一定的初始條件和邊界條件，就可以確定流體的流動。但是，由於N-S方程比歐拉方程多了一個二階導數項

，因此，除在一些特定條件下，很難求出方程的精確解。

可求得精確解的最簡單情況是平行流動。這方面有代表性的流動是圓管內的哈根-泊肅葉流動（詳見管流）和兩平行平板間的庫埃特流動（詳見牛頓流體）。

在許多情況下，不用解出N-S方程，只要對N-S方程各項作量級分析，就可以確定解的特性，或獲得方程的近似解。

對於雷諾數

的情況，方程左端的加速度項與粘性項相比可忽略，從而可求得斯托克斯流動的近似解。RA·密立根【羅伯特·安德魯·密立根】根據這個解給出了一個有名的應用（密立根油滴實驗），即空氣中細小球狀油滴的緩慢流動。

對於雷諾數

的情況，粘性項與加速度項相比可忽略，這時粘性效應僅侷限於物體表面附近的邊界層內，而在邊界層之外，流體的行為實質上同無粘性流體一樣，所以其流場可用歐拉方程求解。

把N-S方程沿流線積分可得到粘性流體的伯努利方程：

式中

為重力加速度；

為單位質量流體克服阻力作功而引起的機械能損失。因此，流體沿流線流動時，機械能會轉化成熱能，使流體温度升高。

在解釋納維-斯托克斯方程的細節之前，首先，必須對流體作幾個假設。第一個是流體是連續的。這強調它不包含形成內部的空隙，例如，溶解的氣體氣泡，而且它不包含霧狀粒子的聚合。另一個必要的假設是所有涉及到的場，全部是可微的，例如壓強

，速度

，密度

，温度

，等等。該方程從質量，動量守恆，和能量守恆的基本原理導出。對此，有時必須考慮一個有限的任意體積，稱為控制體積，在其上這些原理很容易應用。該有限體積記為

，而其表面記為

。該控制體積可以在空間中固定，也可能隨着流體運動。

1.L.普朗特著，郭永懷、陸士嘉譯：《流體力學概論》，科學出版社，北京，1981。（L.Plandtl，et al-，Fiihrer Durch die Strö-mungslehre，Fredr.Vieweg and Sohn，Braunschweig，1969.）

2.詞條作者：張德良《中國大百科全書》74卷（第二版）物理學詞條：流體力學：中國大百科全書出版社，2009-07：361-362頁