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勾股數

勾股數，又名畢氏三元數。勾股數就是可以構成一個直角三角形三邊的一組正整數。勾股定理：直角三角形兩條直角邊a、b的平方和等於斜邊c的平方（a²+b²=c²）^[1] 。

中文名: 勾股數
外文名: Pythagorean triple
別名: 畢氏三元數

表達式: a²+b²=c²,a,b,c∈N
提出者: 《周髀算經》
適用領域: 數學，幾何學
應用學科: 幾何

勾股數發展歷史

勾股定理在西方被稱為Pythagoras定理，它以公元前6世紀希臘哲學家和數學家的名字命名。可以有理由認為他是數學中最重要的基本定理之一，因為他的推論和推廣有着廣泛的引用。雖然這樣稱呼，他也是古代文明中最古老的定理之一，實際上比Pythagoras早一千多年的古巴比倫人就已經發現了這一定理，在Plimpton 322泥板上的數表提供了這方面的證據，這塊泥板的年代大約是在公元前1700年。對勾股定理的證明方法，從古至今已有400餘種^[2] 。

據《周髀算經》記載，“昔者周公問與商高曰：請問古者包犧立周天歷度。夫天不可階而升．地不可得尺寸而度．請問數安從出．商高曰．數之法．出於圓方．圓出於方．方出於矩．矩出於九九八十一．故折矩，以為句，廣三，股修四．徑隅五．既方其外．半之一矩．環而共盤．得成三四五．兩矩共長二十有五．是謂積矩．故禹之所以治天下者．此數之所生也．周公曰．大哉言數．請問用矩之道．商高曰．平矩以正繩．偃矩以望高。覆矩以測深．卧矩以知遠．環矩以為圓．合矩以為方．方屬地．圓屬天．天圓地方．方數為典．以方出圓。笠以寫天．天青黑．地黃赤．天數之為笠也．青黑為表．丹黃為裏．以象天地之位．是故．知地者智．知天者聖．智出於句．句出於矩．夫矩之於數．其裁製萬物．惟所為耳．周公曰．善哉。”^[3]

（3n、4n、5n）（n是正整數）（這是最著名的一組！俗稱“勾三，股四，弦五”。古人把較短的直角邊稱為勾，較長直角邊稱為股，而斜邊則為弦。）（5n、12n、13n）（n是正整數）

（6、8、10）

（7、24、25）

（8、15、17）

（9、40、41）

（10、24、26）

（11、60、61）

（12、16、20）

（12、35、37）

（13、84、85）

（15、20、25）

（15、112、113）

（17、144、145）

（18、24、30）

(19、180、181)

（20、21、29）

（20、99、101）

（48、55、73）

（60、91、109）

勾股數常用套路

簡介

所謂勾股數，一般是指能夠構成直角三角形三條邊的三個正整數(例如a,b,c)。

即a²+b²=c²,a,b,c∈N

又由於，任何一個勾股數組(a,b,c)內的三個數同時乘以一個正整數n得到的新數組(n_a,n_b,n_c)仍然是勾股數，所以一般我們想找的是a,b,c互質的勾股數組。

關於這樣的數組，比較常用也比較實用的套路有以下兩種^[4] ：

勾股數第一類型

當a為大於1的奇數2n+1時，b=2n²+2n, c=2n²+2n+1。

實際上就是把a的平方數拆成兩個連續自然數，例如：

n=1時(a,b,c)=(3,4,5)

n=2時(a,b,c)=(5,12,13)

n=3時(a,b,c)=(7,24,25)

……

這是最經典的一個套路，而且由於兩個連續自然數必然互質，所以用這個套路得到的勾股數組全部都是互質的。

勾股數第二類型

2、當a為大於4的偶數2n時，b=n²-1, c=n²+1

也就是把a的一半的平方分別減1和加1，例如：

n=3時(a,b,c)=(6,8,10)

n=4時(a,b,c)=(8,15,17)

n=5時(a,b,c)=(10,24,26)

n=6時(a,b,c)=(12,35,37)

……

這是第二經典的套路，當n為奇數時由於(a,b,c)是三個偶數，所以該勾股數組必然不是互質的；而n為偶數時由於b、c是兩個連續奇數必然互質，所以該勾股數組互質。

所以如果你只想得到互質的數組，這條可以改成，對於a=4n (大於等於2), b=4n²-1, c=4n²+1，例如：

n=2時(a,b,c)=(8,15,17)

n=3時(a,b,c)=(12,35,37)

n=4時(a,b,c)=(16,63,65)

……

勾股數公式證明

勾股數證明

a=2mn

b=m²-n²

c=m²+n²

證：

假設a²+b²=c²，這裏研究(a,b)=1的情況（如果不等於1則(a,b)|c，兩邊除以(a,b)即可）

如果a,b均奇數，則a² + b² = 2(mod 4)（奇數mod4餘1），而2不是模4的二次剩餘，矛盾，所以必定存在一個偶數。不妨設a=2k

等式化為4k² = (c+b)(c-b)

顯然b,c同奇偶（否則右邊等於奇數矛盾）

作代換：M=(c+b)/2, N=(c-b)/2，顯然M，N為正整數

往證：(M,N)=1

所以(M,N)=1得證。

依照算術基本定理，k² = p₁^a₁×p₂^a₂×p₃^a₃×…，其中a₁,a₂…均為偶數，p₁,p₂,p₃…均為質數

如果對於某個pi，M的pi因子個數為奇數個，那N對應的pi因子必為奇數個（否則加起來不為偶數），從而pi|M, pi|N，(M,N)=pi>1與剛才的證明矛盾　所以對於所有質因子,pi²|M, pi²|N，即M，N都是平方數。

設M = m², N = n²

從而有c+b = 2m², c-b = 2n²，解得c=m²+n², b=m²-n², 從而a=2mn

勾股數推廣形式

關於勾股數的公式還是有侷限的。勾股數公式可以得到所有的基本勾股數，但是不可能得到所有的派生勾股數。比如3，4，5；6，8，10；9，12，15...，就不能全部有公式計算出來^[5] 。

但可以採用同乘以任意整數的形式來獲取所有解！

其中規定m>n>0（兩負數相乘可抵消固不考慮），(m,n)=1，m和n必須為一奇一偶，t為正整數

勾股數完全公式

勾股數公式

a=m，b=(m^2 / k - k) / 2，c=(m^2 / k + k) / 2 ①

其中m ≥3

⒈ 當m確定為任意一個 ≥3的奇數時，k={1，m^2的所有小於m的因子}

⒉ 當m確定為任意一個 ≥4的偶數時，k={m^2 / 2的所有小於m的偶數因子}

基本勾股數與派生勾股數可以由完全一併求出。例如，當m確定為偶數432時，因為k={432^2 / 2的所有小於432的偶數因子}= {2，4，6，8，12，16，18，24，32，36，48，54，64，72，96，108，128，144，162，192，216，288，324，384}，將m=432及24組不同k值分別代入b=(m^2 / k - k) / 2，c=(m^2 / k + k) / 2；即得直角邊a=432時，具有24組不同的另一直角邊b和斜邊c，基本勾股數與派生勾股數一併求出。而勾股數的組數也有公式能直接得到。

勾股數組數N

算術基本定理：一個大於1的正整數n，如果它的標準分解式為n=p1^m1×p2^m2×……×pr^mr，那麼它的正因數個數為N=(m1+1)×(m2+1)×……×(mr+1)；依據定理，易得以下結論

當a給定時，不同勾股數組a，b，c的組數N等於①式中k的可取值個數

⒈ 取奇數a=p1^m1×p2^m2×……×pr^mr，其中k={1，a^2的所有小於a的因子}，則k的可取值個數：

N=[(2m1+1)×(2m2+1)×……×(2mr+1)－1]/2

⒉ 取偶數a=2^m0×p1^m1×p2^m2×……×pr^mr，其中k={a^2 / 2的所有小於a的偶數因子}，則k的可取值個數：

N=[(2m0－1)×(2m1+1)×(2m2+1)×……×(2mr+1)－1]/2

其中，p1，p2，……，pr為互不相同的奇素數，m0，m1，……，mr為冪指數。

勾股數編程

Java

import java.math.*;
public class Test{
　public static void main(String[] args){
　int number=0;
　int a=3,b,c;
　double d;
　for(;a<100;a++)
　for(b=a+1;b<100;b++){
　d=Math.sqrt(a*a+b*b);
　c=(int)d;
　if(c>100)break;
　if(d-c<=0){
　number++;
　System.out.print("("+a+""+b+""+c+")");
　if(number%4==0){
　System.out.println();
　}
　}
　}
　System.out.println("共有"+number+"組");
　}
　}

C++

#include <iostream>
using namespace std;
int main()
{
    int a, b, c;
    for (a = 1; a < 100; a++)
    for (b = 1; b < 100; b++)
    for (c = 1; c < 100; c++)
    if (a<b && a*a + b*b == c*c)
        cout << a << " " << b << " " << c << endl;
    return 0;
}

Python3.x

#通過公式求勾股數
def Ht(k, m):
            '''
            a = k * (m * m - n * n)
     b = k * (2 * m * n)
     c = k * (m * m  + n * n)
    '''
    result = []
    for k0 in range(1, k + 1):
        for m0 in range(2, m + 1):
            for n0 in range(1, m0):
                a = k0 * (m0 * m0 - n0 * n0)
                b = k0 * (2 * m0 * n0)
                c = k0 * (m0 * m0  + n0 * n0)
                if not {a, b, c} in result:
                    result.append({a, b, c})
    result = [sorted(list(x)) for x in result]
    return (sorted(result,key=lambda x:x[0]),
    '共有 {length} 組勾股數'.format(length = len(result)))
Ht(10, 10)

勾股數整勾股數

勾股數常見組合

3，4，5 ：勾三股四弦五

5，12，13 ： 5·21（12）記一生（13）

6，8，10：連續的偶數

8，15，17 ：八月十五在一起（17）

勾股數特殊組合

連續的勾股數只有3，4，5

連續的偶數勾股數只有6，8，10

勾股數20以內

3 4 5；5 12 13； 6 8 10；8，15，17；9 12 15

勾股數20-130

7 24 25；9 40 41；10 24 26；11 60 61；12 16 20；12 35 37；13 84 85；14 48 50；15 20 25；15 36 39；15 112 113；16 30 34；16 63 65；18 24 30；18 80 82；20 21 29；20 48 52；20 99 101；21 28 35；21 72 75；22 120 122；24 32 40；24 45 51；24 70 74；25 60 65；27 36 45；28 45 53；28 96 100；30 40 50；30 72 78；32 60 68；33 44 55；33 56 65；35 84 91；36 48 60；36 77 85；39 52 65；39 80 89；40 42 58；40 75 85 ；40 96 104；42 56 70 ； 45 60 75 ； 48 55 73 ； 48 64 80 ； 48 90 102 ； 51 68 85 ；54 72 90 ； 56 90 106 ； 57 76 95 ； 60 63 87 ； 60 80 100 ；60 91 109 ； 63 84 105 ； 65 72 97 ； 66 88 110 ； 69 92 115 ；72 96 120 ； 75 100 125 ； 80 84 116。

三個數都在100以內共有52組。