梅森素數

素數是指在大於1的整數中只能被1和其自身整除的數。素數有無窮多個，但到2018年底卻只發現有51個素數能表示成2^p－1（p為素數）的形式，這就是梅森素數（如3、7、31、127等等）。它是以17世紀法國數學家馬林·梅森的名字命名。

梅森素數是數論研究中的一項重要內容，早在古希臘時期人們就知道了2^p－1型素數的概念。由於這種素數具有獨特的性質（和完全數有關）和無窮的魅力，千百年來一直吸引着眾多數學家和無數的數學愛好者對它進行研究和探尋。

在現代，通過對梅森素數的深入探究，促進了多種學科和新技術的發展。它還是人類好奇心、求知慾和榮譽感的最好見證。

早在公元前300多年，古希臘數學家歐幾里得就開創了研究2^p－1的先河，他在名著《幾何原本》第九章中論述了完全數與2^p－1型素數的關係。

1640年6月，費馬在給馬林·梅森（Marin Mersenne）的一封信中寫道：“在艱深的數論研究中，我發現了三個非常重要的性質，我相信它們將成為今後解決素數問題的基礎。”這封信討論了形如2^p－1的數。

馬林·梅森是17世紀歐洲科學界一位獨特的中心人物，他與包括費馬在內的很多科學家經常保持通信聯繫，討論數學、物理等問題。當時的歐洲，學術刊物和科研機構還遠未出現，也沒有國際會議這種形式，交往廣泛、熱情誠摯且博學多才的梅森就成了各國科學家之間聯繫的橋樑，許多科學家都樂於將研究成果告訴他，然後再由他轉告給更多的人。梅森還是法蘭西科學院的奠基人，為科學事業做了很多有益的工作，被選為“100位在世界科學史上有重要地位的科學家”之一。 ^[1] 

梅森在歐幾里得、費馬等人有關研究的基礎上對2^p－1型的數作了大量的計算、驗證，並於1644年在他的《物理數學隨感》一書中斷言：在≤257的素數中，當p=2、3、5、7、13、17、19、31、67、127、257時，2^p－1是素數，其它都是合數。前面的7個數（即p=2、3、5、7、13、17、19）已被前人所證實，而後面的4個數（即p=31、67、127、257）則是梅森自己的推斷。由於梅森在科學界有着崇高的學術地位，當時的人們對其斷言都深信不疑。

後來人們才知道梅森的斷言其實包含着若干錯漏。不過梅森的工作卻極大地激發了人們研究2^p－1型素數的熱情，使其擺脱作為“完全數”的附庸地位，可以説梅森的工作是2^p－1型素數研究的一個轉折點和里程碑。由於梅森學識淵博、才華橫溢、為人熱誠以及最早系統而深入地研究2^p－1型的數，為了紀念他，數學界就把這種數稱為“梅森數”，並以M_p記之（其中M為梅森姓名的首字母），即M_p=2^p－1。如果梅森數為素數，則稱之為“梅森素數”（即2^p－1型素數）。

2300多年來，人類僅發現51個梅森素數，由於這種素數珍奇而迷人，因此被人們譽為“數海明珠”。自梅森提出其斷言後，人們發現的已知最大素數幾乎都是梅森素數，因此尋找新的梅森素數的歷程也就幾乎等同於尋找新的最大素數的歷程。

梅森素數的探尋難度極大，它不僅需要高深的理論和純熟的技巧，而且需要進行艱苦的計算。

早在公元前4世紀，古希臘著名數學家歐幾里得（前330～前275）就提出了2^p－1型素數的概念，即可以表示為2^p－1形式的素數。他發現這種類型的素數和完全數之間有着密切聯繫：如果2^p－1是素數，則2^p－1（2^p－1）是完全數。歐幾里得的結論為2^p－1型素數研究奠定了基礎。不過在計算能力低下的公元前，人們僅知道四個2^p－1型素數：

、

、

和

，發現人已無從考證。

15世紀，第5個2^p－1型素數

的發現人同樣沒有留下姓名。

長期以來人們一直以為所有2^p－1型的數可能都是素數，但雷吉烏斯在1536年糾正了這一錯誤觀點。他指出M₁₁=23×89，並不是素數。由此人們開始深入思考哪些2^p－1型的數才是素數？這樣的素數又有多少？人類尋找2^p－1型素數之路開始真正走上正軌。

首先對2^p－1型的數進行整理的是意大利數學家彼得羅·卡塔爾迪（1548～1626）。1588年，卡塔爾迪先是正確地指出p=17和19，2^p－1是素數；但他之後又提出p=23、29、31和37，2^p－1也都是素數。在卡塔爾迪所處的年代，判斷2^p－1型的數是不是素數極其困難。雖然卡塔爾迪的結論經後人驗證錯了三個，人們還是把

和

這兩個素數歸於他的發現。

17世紀，法國數學家馬林·梅森（1588～1648）對2^p－1型的數進行了更為全面深入地研究。1644年，梅森在其著作中提出了他認為的四個2^p－1型素數：M₃₁、M₆₇、M₁₂₇和M₂₅₇，這就是著名的“梅森斷言”。梅森在提出“斷言”四年之後就去世了。後來人們從梅森的斷言中找到了不少錯漏，並沒有把任何一個2^p－1型素數的“發現權”歸屬於他。不過，人們為了紀念梅森在2^p－1型素數研究中所做的開創性工作，以後就把這種類型的素數稱為“梅森素數”。

手算筆錄的時代，每前進一步，都顯得格外艱難。1772年，瑞士大數學家萊昂哈德·歐拉（1707～1783）在雙目失明的情況下，靠心算證明了

的確是素數。這是人們找到的第8個梅森素數，它共有10位數，堪稱當時世界上已知的最大素數。歐拉還證明了歐幾里得關於完全數定理的逆定理：所有的偶完全數都具有2^p－1（2^p－1）的形式，其中2^p－1是素數。這表明梅森素數和偶完全數是一一對應的。

梅森素數的研究在100年後又有了新的進展。19世紀70年代，法國數學家愛德華·盧卡斯（1842～1891）提出了一個用來判別M_p是否為素數的重要定理——盧卡斯定理，為梅森素數的尋找提供了有力的工具。 ^[2]  1876年，盧卡斯證明

確實也是素數，這是人們靠手工計算發現的最大梅森素數，長達39位。

至此，梅森的斷言已有兩個是正確的。然而——

19世紀末至20世紀初，人們利用盧卡斯定理又陸續找到了三個梅森素數。1883年，俄國數學家伊凡·波佛辛（1827～1900）證明

也是素數——這是梅森遺漏的。梅森還漏掉另外兩個素數

和

，它們分別在1911年和1914年被美國業餘數學家拉爾夫·鮑爾斯（1875～1952）發現。

梅森的斷言還有兩處錯誤。1876年，盧卡斯第一個否定了“M₆₇為素數”這一自梅森斷言以來一直被人們相信的結論，但他並未找到其因子。直到1903年，才由數學家柯爾（1861～1926）算出M₆₇=193707721×761838257287。1922年，數學家克萊契克（1882～1957）驗證了M₂₅₇並不是素數，而是合數。

在手工計算的漫長年代裏，人們歷盡艱辛，一共只找到12個梅森素數。

20世紀30年代，美國數學家德里克·萊默（1905～1991）改進了盧卡斯的工作，給出了一個針對M_p的新的素性測試方法，即盧卡斯-萊默檢驗法：M_p＞3是素數當且僅當L_p－2=0，其中L₀=4，L_n+1= ( L_n²－2 ) modM_p。這一方法非常適合於計算機運算，因此在“計算機時代”發揮了重要作用。

1952年1月30日晚，美國數學家拉斐爾·魯濱遜（1911～1995）在萊默指導下將此方法編譯成計算機程序，利用加州大學洛杉磯分校的SWAC型計算機，幾小時內就找到了兩個100位以上的梅森素數

和

。SWAC即標準西部自動計算機，是當時運算速度最快的計算機之一。隨後的幾個月，魯濱遜使用該計算機又接連找到

、

和

。

計算機的出現使梅森素數的搜尋如虎添翼，各國科學家和業餘研究者們於是紛紛投身到尋找梅森素數的隊伍中。他們彼此競爭，樂此不疲，催生了不少新發現。1957年9月，第18個梅森素數

被瑞典數學家漢斯·黎塞爾（1929～2014）使用BESK型計算機找到；1961年11月，

和

被美國數學家亞歷山大·赫維茨（1937～）使用IBM-7090型計算機在同一天找到，這兩個梅森素數仍是加州大學洛杉磯分校的發現。

1963年5月，美國數學家唐納德·吉里斯（1928～1975）利用大型計算機連續找到

和

。1963年6月2日晚，當吉里斯找到第23個梅森素數

時，美國廣播公司中斷了正常的節目播放，在第一時間發佈了這一重要消息。發現這一素數的美國伊利諾伊大學數學系全體師生感到無比驕傲，為了讓世界各地的人們都分享這一成果，他們把所有從系裏發出的信件都敲上了“M₁₁₂₁₃是個素數”的郵戳。

20世紀60年代中期，以IBM-360為代表的第三代計算機的出現加快了梅森素數的尋找步伐，但隨着指數p值的增大，每一個梅森素數的產生反而更加艱難。1971年3月4日晚，美國數學家布萊恩特·塔克曼（1915～2002）使用IBM-360/91型計算機，時隔近8年終於找到新的梅森素數

。美國哥倫比亞廣播公司如法炮製，也在第一時間報道了這一發現。

而到1978年10月底，世界幾乎所有的大新聞機構（包括中國的新華社）都爭相報道了以下消息：兩名年僅18歲的美國高中生蘭登·諾爾和尼克爾在Cyber-174型計算機上運行他們自己編寫的計算程序，經過350小時的持續運算找到了第25個梅森素數

。

次年2月，諾爾再接再厲又找到第26個梅森素數

。

伴隨數學理論的發展，為尋找梅森素數而使用的計算機功能也越來越強大，其中就包括著名的超級計算機Cray系列。1979年4月8日，美國克雷公司的計算機專家大衞·史洛温斯基和納爾遜使用Cray-1型計算機找到超過1萬位的梅森素數

；史洛温斯基自己使用經過改進的Cray-XMP型計算機在1982年至1985年間又接連找到

、

和

，但他未能確定在這一區間是否還有異於M₁₃₂₀₄₉的梅森素數。

1988年1月，科爾奎特和韋爾什使用NEC-SX2型超高速並行計算機果然發現“漏網之魚”

。沉寂四年之後，哈維爾實驗室（英國原子能技術權威機構）的一個研究小組突然宣佈他們於1992年2月19日找到新的最大素數

，位數超過20萬位。而為了得到這一成果，他們運行計算機超過兩年時間，動用了12萬英鎊的經費。看來梅森素數探尋之路正變得離普通人越來越遠······

此前人們知道的最大素數是1989年發現的391581×2²¹⁶¹⁹³－1，不是梅森素數。M₇₅₆₈₃₉的發現宣告梅森素數又重新登上了已知最大素數的寶座。此後這一寶座一直由梅森素數牢牢佔據，再未旁落。

人們在尋找梅森素數的同時，對其重要性質——分佈規律的研究也在進行着。梅森素數已發現的數量很少，且人們對其無窮性尚未可知，因此探索它的分佈規律似乎比尋找新的梅森素數更為困難。數學家們在長期的實踐中，曾提出過一些關於梅森素數分佈的猜測，但他們的猜測都以近似表達式給出，且與實際情況的接近程度均未盡如人意。中國學者周海中根據已知的梅森素數及其排列，於1992年2月也提出了一個關於梅森素數分佈的猜想，並首次給出其分佈的精確表達式，受到人們關注。 ^[3]  這一猜想後來被國際數學界命名為“周氏猜測”。

1994年1月4日，史洛温斯基和蓋奇為克雷公司再次奪回發現已知最大素數的桂冠——這一素數是

。而下一個梅森素數

仍是他們的成果。史洛温斯基由於發現7個梅森素數，而被人們譽為“素數大王”。1996年9月發現的M_1257787是迄今為止最後一個由超級計算機發現的梅森素數，研究人員使用了Cray-T94，這也是人類發現的第34個梅森素數。

使用超級計算機尋找梅森素數實在太昂貴了，而且可以參與的人也有限，網格這一嶄新技術的出現使梅森素數的探尋又重新回到了“人人蔘與”的大眾時代。20世紀90年代中後期，在美國程序設計師沃特曼和庫爾沃斯基等人的共同努力下，建立了世界上第一個基於互聯網的分佈式計算項目——因特網梅森素數大搜索（GIMPS）。人們只要在GIMPS的主頁上下載一個計算梅森素數的免費程序，就可以立即參加該項目來搜尋新的梅森素數。

1996年至1998年，GIMPS項目找到了3個梅森素數：

、

和

，其發現者來自法國、英國和美國。

1999年6月1日，美國密歇根州普利茅斯的數學愛好者納揚·哈吉拉特瓦拉通過GIMPS項目找到第38個梅森素數

。這是20世紀發現的最後一個梅森素數，也是人們知道的第一個超過100萬位的素數。哈吉拉特瓦拉使用的只是一台普通的奔騰II型計算機。雖然這台計算機自身的性能並不高，但由於分佈式計算網絡連接了當時世界上數以萬計的普通計算機，因此總運算速度仍然和超級計算機相當。

進入21世紀，隨着個人計算機的進一步普及和計算速度的提升，人們又找到不少更大的梅森素數。2001年11月14日，一名20歲的加拿大青年邁克爾·卡梅倫找到

，拉開了新世紀尋找梅森素數的序幕。 ^[4]  此後在2003年至2006年間，GIMPS項目又相繼發現5個梅森素數：

、

、

、

和

，已知最大素數紀錄距離1000萬位大關越來越近。 ^[5-9] 

2008年8月23日，美國加州大學洛杉磯分校的計算機專家埃德森·史密斯終於發現超過1000萬位的梅森素數

。 ^[10]  這是該校發現的第8個梅森素數。它有12978189位數，如果用普通字號將這個超大素數連續打印下來，它的長度可超過50公里！這一成就被美國的《時代》雜誌評為當年“50項最佳發明”之一，排名在第29位。 ^[11]  發現者史密斯還贏得了由EFF頒發的10萬美元大獎。

此後一年內，又有兩個稍小的梅森素數被德國和挪威的志願者先後找出。 ^[12-13] 

距史密斯的發現僅相隔兩個星期，而2009年6月找到的

與史密斯發現的素數相比“僅”相差14萬位數。這是繼1988年後梅森素數再一次“不按順序”發現。

2013年和2016年，美國中央密蘇里大學數學教授柯蒂斯·庫珀利用校區內的800多台電腦連續發現了兩個梅森素數

和

。 ^[14-15]  後者其實早在2015年9月就已經被電腦計算出結果，但直到2016年1月人們才注意到，使得這個梅森素數的發現日期往後推遲了三個多月。庫珀通過GIMPS項目總共發現了四個梅森素數，成為新的“素數大王”。庫珀的成功在世界範圍內又掀起了探尋梅森素數的新一輪熱潮。

2017年12月26日，加入GIMPS項目已有14年的美國志願者喬納森·佩斯找到了人類已知的第50個梅森素數

。 ^[16]  為紀念這一里程碑式的重大發現，日本一家出版社還發行了一本名為《2017年最大的素數》的書。 ^[17]  然而時隔僅一年，已知最大素數紀錄就被再次刷新。新的紀錄是

，由美國佛羅里達州奧卡拉的帕特里克·拉羅什在2018年12月7日發現。 ^[18]  這已是GIMPS項目23年間發現的第17個梅森素數。

2021年10月6日，在發現M_57885161超過8年後，已確定該數為第48個梅森素數。 ^[19] 

至2018年12月，總計發現51個梅森素數。現把它們的數值、位數、發現時間、發現者等列表如下：

M1～M12

M13～M34

M35～M51

1996年初，美國數學家和程序設計師喬治·沃特曼（George Woltman）編制了一個名為Prime95的梅森素數計算程序，並把它放在網頁上供數學家和數學愛好者免費使用，這就是聞名世界的“因特網梅森素數大搜索”項目，簡稱GIMPS。該項目採取網格計算方式，利用大量普通計算機的閒置時間來獲得相當於超級計算機的運算能力。1997年美國數學家及程序設計師斯科特·庫爾沃斯基（Scott Kurowski）和其他人建立了“素數網”（PrimeNet），使分配搜索區間和向GIMPS發送報告自動化。一個龐大的數據庫記錄着所有任務的分配情況和計算報告，如果某個交回的計算報告顯示發現了一個新的梅森素數，還需經過一個專門機構用不同算法驗證才能被正式確認。

為了激勵人們尋找梅森素數和促進網格技術發展，總部設在美國舊金山的電子前沿基金會（EFF）於1999年3月向全世界宣佈，為通過GIMPS項目來尋找新的更大的梅森素數而設立“協同計算獎”。它規定向第一個找到超過100萬位數的個人或機構頒發5萬美元（已頒發）。後面的獎金依次為：超過1000萬位，10萬美元（已頒發）；超過1億位，15萬美元；超過10億位，25萬美元。 ^[20]  此外，梅森素數的發現者還可以從GIMPS中獲得至少3000美元的獎勵。但其實絕大多數志願者參與該項目並不是為了金錢，而是出於樂趣、榮譽感和探索精神。

目前人們通過GIMPS項目已找到17個梅森素數，其發現者來自美國、英國、法國、德國、加拿大和挪威。世界上有190多個國家和地區超過60萬人參加了這一國際合作項目，並動用了上百萬台計算機（CPU）聯網來尋找新的梅森素數。 ^[21]  該項目的計算能力已超過當今世界上任何一台最先進的超級矢量計算機的計算能力，運算速度可達到每秒850萬億次。著名的《自然》雜誌説：GIMPS項目不僅會進一步激發人們對梅森素數尋找的熱情，而且會引起人們對網格技術應用研究的高度重視。

梅森素數自古以來就是數論研究的一項重要內容，歷史上有不少大數學家都專門研究過這種特殊形式的素數。自古希臘時代起直至17世紀，人們尋找梅森素數的意義似乎只是為了尋找完全數。但自梅森提出其著名斷言後，特別是歐拉證明了歐幾里得關於完全數定理的逆定理以來，偶完全數已僅僅是梅森素數的一種“副產品”了。

尋找梅森素數在當代已有了十分豐富的意義。尋找梅森素數是目前發現已知最大素數的最有效途徑。自歐拉證明M₃₁為當時最大的素數以來，在發現已知最大素數的世界性競賽中，梅森素數幾乎囊括了全部冠軍。

尋找梅森素數是測試計算機運算速度及其他功能的有力手段，如M_1257787就是1996年9月美國克雷公司在測試其最新超級計算機的運算速度時得到的。梅森素數在推動計算機功能改進方面發揮了獨特作用。發現梅森素數不僅需要高功能的計算機，還需要素數判別和數值計算的理論與方法以及高超巧妙的程序設計技術等等，因此它的研究推動了“數學皇后”——數論的發展，促進了計算數學和程序設計技術的發展。

尋找梅森素數最新的意義是：它促進了分佈式計算技術的發展。從最新的17個梅森素數是在因特網項目中發現這一事實，可以想象到網絡的威力。分佈式計算技術使得用大量個人計算機去做本來要用超級計算機才能完成的項目成為可能，這是一個前景非常廣闊的領域。它的探究還推動了快速傅里葉變換的應用。

梅森素數在實用領域也有用武之地，現在人們已將大素數用於現代密碼設計領域。其原理是：將一個很大的數分解成若干素數的乘積非常困難，但將幾個素數相乘卻相對容易得多。在這種密碼設計中，需要使用較大的素數，素數越大，密碼被破譯的可能性就越小。

由於梅森素數的探究需要多種學科和技術的支持，也由於發現新的“大素數”所引起的國際反響，使得對於梅森素數的研究能力已在某種意義上標誌着一個國家的科技水平，而不僅僅是代表數學的研究水平。英國頂尖科學家、牛津大學教授馬科斯·索托伊曾表示：梅森素數的研究進展是科學發展的一個重要方面，人們期待一位當今的歐幾里得來證明梅森素數永不枯息。

梅森素數這顆數學海洋中的璀璨明珠正以其獨特的魅力，吸引着更多的有志者去尋找和研究。

2017年12月張苗寶發現了梅森素數的分佈規律，並給出了比較精準的計算公式。

梅森素數的計算公式

3*5/3.8*7/5.8*11/9.8*13/11.8*......*P/(P-1.2)-1=M

P是梅森數的指數，M是P以下的梅森素數的個數。

以下是計算的數值與實際數的情況：

指數5，計算2.947，實際3，誤差0.053；

指數7，計算3.764，實際4，誤差0.236；

指數13，計算4.891，實際5，誤差0.109；

指數17，計算5.339，實際6，誤差0.661；

指數19，計算5.766，實際7，誤差1.234；

指數31，計算6.746，實際8，誤差1.254；

指數61，計算8.445，實際9，誤差0.555；

指數89，計算9.201，實際10，誤差0.799；

指數107，計算9.697，實際11，誤差1.303；

指數127，計算10.036，實際12，誤差1.964；

指數521，計算13.818，實際13，誤差-0.818；

指數607，計算14.259，實際14，誤差-0.259；

指數1279，計算16.306，實際15，誤差-1.306；

指數2203，計算17.573，實際16，誤差-1.573；

指數2281，計算17.941，實際17，誤差-0.941；

這個公式是根據梅森素數的分佈規律得出的。萬數1為首，1被除外了，所以要減去1。在不考慮重疊問題，應該P減1就可以了，這裏已考慮重疊問題，所以就P減1.2.在梅森數的指數漸漸增大，1.2是否合適，還要等實際檢驗。

所有的奇素數都是準梅森數（2^N-1）的因子數和梅森素數，則梅森合數的因子數是隻有素數中的一部分。

在2^N-1的數列中，一個素數作為素因子第一次出現在指數N的數中，這個素數作為因子數在2^N-1數列中就以N為週期重複出現。在這種數列中指數是偶數的都等於3乘以四倍金字塔數。

在2^N-1數列中，指數大於6的，除梅森素數外，都有新增一個或一個以上的素數為因子數，新增的梅森合數的因子數減1能被這個指數整除。

一個梅森合數的因子數第一次出現在一個梅森合數中：並以這個梅森合數的指數為週期反覆出現以後的準梅森合數中，

一個是梅森素數的素數，它永遠不是梅森合數的因子數。

一個是前面的梅森合數的因子數的素數，它永遠不會是後面的梅森合數的因子數。

所有梅森合數的因子數減1都能被這個梅森合數的指數整除，商是偶數。

一個素數在不是梅森合數的準梅森數中第一次以因子數出現，這個素數減1能被這個準梅森數的指數整除，但也有例外，商不一定是偶數。

梅森素數都在[4^(1-1)+4^(2-1)+4^(3-1)+......+4^(n-1)]*6+1數列中，括符裏種數暫叫四倍金字塔數。

凡是一個素數是四倍金字塔數的因子數，以後就不是梅森合數的因子數。

在4^(1-1)+4^(2-1)+4^(3-1)+......+4^(n-1)數列中的數，有不等於6NM+-（N+M）的數乘以6加上1都是梅森素數。

在2^P-1平方根以下的素數都以素因子在以前準梅森數中出現了，那這個梅森數沒有因子數，它必是梅森素數。但它的逆定理是不成立的。如果還沒有出現在以前的準梅森數中的素數，它也不定是梅森合數的因子數。

梅森合數的因子數都是8N+1和8N-1形的素數。

試證梅森素數

在指數n是無限多的2^n-1數列中梅森數和梅森素數只佔其中的很少比例。

根據費馬小定理，每一個奇素數都會以數因子出現在2^n-1數列中，只不過有些提前出現，有些最後出現。只有梅森素數是最早出現在這個數列中的。其他有素數都不會最早出現，最遲出現的素數是在本數減1的數中，也就是費馬小定理的地方。

每一個奇素數都十分有規律作為因子數出現在2^n-1數列中，一個素數第一次出現在2^n-1數中（包括梅森素數），這個素數就以n為週期反覆出現在2^n-1數列中，如3第一次出現在n=2中，指數能被2整除的都有3的因子數;7第一次出現在n=3，指數能被3整除的都有7的因子數;5第一次出現在n=4中,指數能被4整除都有5的因子數。一個素數出現在2^n-1數列n中，不管n是素數不是素數，只要用小於n的全部奇素數去篩，指數n都在其中。如果是合數與前面的素數是重疊的，所以不用重篩了。

要篩完2^n-1數列中所有數因子，必需用少於或等於2^n-1平方根以內的所有素數去篩，這樣剩下沒有篩的就是梅森素數了。

2^n-1的數列是無限多的，無限多的自然數任你篩多少次的幾分之一，永遠是無限多的。所以梅森素數是無限多的。

梅森素數的篩法

根據費馬小定理，每一個奇素數都會以素因子的身份出現在2^n-1數列中，只不過有些出現早，有些出現遲。

每一個奇素數第一次出現在2^n-1數列指數n的數中，這個n就是這個素數的對應數，它就以n為週期反覆出現。

已經知道梅森素數都出現在梅森數中。只要篩去梅森數中的梅森合數，剩下就是梅森素數。

將梅森數列展開，從3的對應數2開始，2點一點；5的對應數是4，4是合數，就不用操作；7的對應數是3，在3點一點；11的對應數是10，是合數，不用操作；13的對應數是12，12是合數，不用操作；這樣一直點下去，點到梅森數的指數以前的數都能篩淨。凡是一個梅森數點上兩次和兩次以上的都給劃去，剩下就是隻有點一次的梅森數了，這些梅森數全是梅森素數。

這個篩法在素數很大時找它的對應數有點困難。