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實際數
鎖定
實際數(practical number)是指一正整數n有許多約數,所有小於n的正整數都可以用數個n的相異真約數和表示。
- 中文名
- 實際數
- 外文名
- practical number
- 領 域
- 統計學
目錄
實際數簡介
實際數(practical number)是指一正整數n有許多約數,所有小於n的正整數都可以用數個n的相異真約數和表示。例如12的真約數有1, 2, 3, 4及6,而1至11的數字中有幾個不是12的真約數,但都可以表示為數個相異真約數的和:5=3+2, 7=6+1, 8=6+2, 9=6+3, 10=6+3+1及11=6+3+2。
以下是實際數的列表(OEIS中的數列A005153):1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, ....
12,13世紀的意大利數學家斐波那契在其著作《計算之書》(Liber Abaci)中,在説明如何用埃及分數的和表示有理數時有用到實際數。斐波那契沒有正式的定義實際數,但其中有一個表,其中有許多分數的分母為實際數。
實際數(practical number)一詞最早是由Srinivasan在1948年開始使用,他希望可以找出有這類性質的數字,此工作後來在1955年由Stewart和Sierpiński完成。利用正整數的素因數分解可以判斷是否是實際數,所有2的冪及偶數的完全數都是實際數。
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實際數實際數的充份必要條件
一個正整數可以由其素因數分解看出是否是實際數,一正整數
,其中
,素因數為
,其為實際數當且僅當
,且對於每個2到k之間的i:
實際數和其他數列的關係
所有2的冪都是實際數。2的冪的素因數分解滿足實際數的充份必要條件:第一個素因數為2。所有偶數的完全數也都是實際數:依照歐拉的研究,偶數的完全數可以表示為2(2−1),其奇數的素因數可以用其他偶數部分的除數函數來表示,因此也滿足實際數的充份必要條件。
任一個素數階乘也都是實際數。根據伯特蘭-切比雪夫定理,素數階乘中最大的素數會小於次大素數和最小素數的乘積,因此滿足實際數的充份必要條件。前k個素數冪次的乘積也都是實際數,包括階乘以及斯里尼瓦瑟·拉馬努金提出的高合成數。
[3]
實際數和埃及分數的關係
斐波那契在其著作《計算之書》(Liber Abaci)中列出許多用埃及分數表示有理數的方式,首先先確認分數是否可以直接化簡為單位分數,再來則是設法將分子表示為分母約數的和,此方式只在分母為實際數時有效。斐波那契列出了分母為6, 8, 12, 20, 24, 60及100時,分數用埃及分數表示時的表示式。
[4]
實際數和素數的類似之處
實際數特別的一點是其許多性質都類似素數。例如假設p(x)為小於x實際數的個數,Saias證明存在常數c1及c2使得下式成立:
實際數也有對應哥德巴赫猜想及孿生素數猜想的定理:每一個偶數可以表示為二個實際數的和,以及存在無限多個x−2,x,x+形式的實際數。Melfi也證明在斐波那契數列中存在無限多個實際數,素數對應的問題是是否存在無限多個斐波那契素數,此問題仍為開放問題,還沒有被證明,但也還找不到反例。Hausman及Shapiro證明若x為正實數,在[x,(x+1)]區間內存在實際數,可以對應素數中的勒讓德猜想。
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- 參考資料
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- 1. Sigler, Laurence E. (trans.), Fibonacci's Liber Abaci, Springer-Verlag: 119–121, 2002, ISBN 0-387-95419-8
- 2. Srinivasan, A. K., Practical numbers (PDF), Current Science, 1948, 17: 179–180, MR 0027799
- 3. Stewart, B. M., Sums of distinct divisors, American Journal of Mathematics (The Johns Hopkins University Press), 1954, 76 (4): 779–785, JSTOR 2372651, MR 0064800, doi:10.2307/2372651
- 4. Sierpiński, Wacław, Sur une propriété des nombres naturels, Annali di Matematica Pura ed Applicata, 1955, 39 (1): 69–74, doi:10.1007/BF02410762
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