平凡羣

在數學裏，平凡羣是指一個只包含單一元素e的羣，其羣運算只有e+e=e，單位元素平凡是e，且為阿貝爾羣；這些結果都是平凡的，因此以此命名。平凡羣通常被寫做Z₁，或盡標示為0。

不可把平凡羣和空集相混淆，空集中沒有任何元素，因此缺少一個單位元而無法形成一個羣，雖然這兩者在其各自的範疇中扮演着極相近的角色。

每一個羣都包含着一個平凡羣。 ^[1] 

阿貝爾羣（Abelian group）也稱為交換羣（commutative group）或可交換羣，它是滿足其元素的運算不依賴於它們的次序（交換律公理）的羣。阿貝爾羣推廣了整數集合的加法運算。阿貝爾羣以挪威數學家尼爾斯·阿貝爾命名。

阿貝爾羣的概念是抽象代數的基本概念之一。其基本研究對象是模和向量空間。阿貝爾羣的理論比其他非阿貝爾羣簡單。有限阿貝爾羣已經被徹底地研究了。無限阿貝爾羣理論則是目前正在研究的領域。

阿貝爾羣的羣運算符合交換律，因此阿貝爾羣也被稱為交換羣。它由自身的集合G和二元運算* 構成。它除了滿足一般的羣公理，即運算的結合律、G有單位元、所有G的元素都有逆元之外，還滿足交換律公理

因為阿貝爾羣的羣運算滿足交換律和結合律，羣元素乘積的值與乘法運算時的次序無關。

而羣運算不滿足交換律的羣被稱為“非阿貝爾羣”，或“非交換羣”。

如果n是自然數而x是使用加號的阿貝爾羣G的一個元素，則nx可以定義為x+x+ ... +x（n個數相加）並且（−n）x= −（nx）。以這種方式，G變成在整數的環Z上的模。事實上，在Z上的模都可以被識別為阿貝爾羣。

關於阿貝爾羣（比如在主理想整環Z上的模）的定理經常可以推廣到在任意主理想整環上的模。典型的例子是有限生成阿貝爾羣的分類是在主理想整環上的有限生成模的結構定理的特殊情況。在有限生成阿貝爾羣的情況下，這個定理保證阿貝爾羣可以分解為撓羣和自由阿貝爾羣的直和。前者可以被寫為形如Z/pZ對於素數p的有限多個羣的直和，而後者是有限多個Z的複本的直和。

如果f,g:G→H是在阿貝爾羣之間的兩個羣同態，則它們的和f+g，定義為(f+g)(x) =f(x) +g(x)，也是阿貝爾同態。（如果H是非阿貝爾羣則這就不成立。）所有從G到H的羣同態的集合Hom(G,H)因此是自身方式下的阿貝爾羣。

某種程度上類似於向量空間的維度，所有阿貝爾羣都有秩。它定義為羣的線性無關元素的最大集合的勢。整數集和有理數集和所有的有理數集的子羣都有秩1。 ^[2]